Exercice 9210

Arbre de probabilités- formule des probabilités totales

Contenu

- construire un arbre pondéré à partir de l'énoncé
- formule des probabilités totales
- déterminer le nombre de boules d'une urne pour obtenir une probabilité donnée

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Une urne $A$ contient 90 boules rouges et 10 noires indiscernables au toucher et une urne $B$ contient 30 boules rouges et 70 noires également indiscernables au toucher.
On lance d'abord un dé cubique équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.
Si on obtient 1, on tire une boule dans l'urne $A$ et sinon on tire une boule dans l'urne $B$
On note: - $D$ : "le numéro du dé est 1" ;
- $R$ : "la boule est rouge" ;
  1. Construire un arbre de probabilités illustrant les divers cas possibles.
    Traduire d'abord les données de l'énoncé avec les notations des événements et des prbabilités
    On doit placer dans l'arbre les probabilités conditionnelles $p_D(R)$ et $p_{\overline{D}}(R)$
    On a $p(D)=\dfrac{1}{6}$
    Si on obtient 1 (événement $D$) alors la probabilité d'obtenir une boule rouge est $p_D(R)=\dfrac{90}{100}=0,9$
    sinon la probabilité d'obtenir une boule rouge est $p_{\overline{D}}(R)=\dfrac{30}{100}=0,3$
    On a donc l'arbre suivant:
  2. Calculer $p(R)$
    On peut multiplier les coefficients des branches des parcours menant à $R$
  3. En déduire $p_R(D)$ et en donner la signification.
    On utilise les résultats de $p(R)$ et $p(R\cap D)$
  4. On modifie le nombre de boules rouges dans l'urne $B$ qui en contient toujours 100 au total.
    On note $n$ le nombre de boules rouges de l'urne $B$.
    Déterminer le nombre de boules rouges $n$ que doit contenir l'urne $B$ pour que la probabilités d'obtenir une boule rouge soit la même que celle d'obtenir une boule noire à l'issue du jeu.
    Il faut de nouveau calculer $p(R)$ sachant que $p_{\overline{D}}(R)=\dfrac{n}{100}$ et on veut $p(R)=0,5$


 
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