Exercice 9212

Formule des probabilités totales pour calculer une probabilité conditionnelle (extrait BAC 2008)

Contenu

- compléter un arbre pondéré
- calculer une probabilité conditionnelle avec la formule des probabilités totales

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Une agence de voyages propose exclusivement trois destinations : la destination A, la destination G et la destination M.
50% des clients choisissent la destination A ;
30% des clients choisissent la destination M ;
20% des clients choisissent la destination G.
Au retour de leur voyage, tous les clients de l'agence répondent à une enquête de satisfaction.
Le dépouillement des réponses à ce questionnaire permet de dire que 90% des clients ayant choisi la destination M sont satisfaits, de même que 80% des clients ayant choisi la destination G.
On prélève au hasard un questionnaire dans la pile des questionnaires recueillis.
On note les évènements :
- A : "le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination A";
- G : "le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination G";
- M : "le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination M";
-S : "le questionnaire est celui d'un client satisfait".
  1. Traduire les données de l'énoncé sur un arbre de probabilité.
    Traduire d'abord les données de l'énoncé avec les notations des événements et des probabilités
    50% des clients choisissent la destination A donc $p(A)=0,5$

    30% des clients choisissent la destination M donc $p(M)=0,3$;
    20% des clients choisissent la destination G donc $p(G)=0,2$.
    90% des clients ayant choisi la destination M sont satisfaits donc $p_M(S)=0,9$;
    80% des clients ayant choisi la destination G sont satisfaits donc $p_G(S)=0,8$;
    Les probabilités non conditionnelles sont à placer sur le premier niveau de l'arbre.
    On a donc:
  2. Traduire par une phrase les évènements $G\cap S $et $M \cap S$ puis calculer les probabilités $p(G \cap S)$ et $p(M\cap S )$.
  3. L'enquête montre que 72% des clients de l'agence sont satisfaits. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer $p(A \cap S)$.
    Identifier sur l'abre tous les parcours menant à l'événement S
  4. En déduire $p_{A}(S)$, probabilité de l'évènement S sachant que l'évènement A est réalisé.
    On a $p(A\cap S)=p(A)\times p_A(S)$


 
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