Exercice 931

Justifier une loi binomiale et calculs de probabilités

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- justifier qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale
- coefficients binomiaux
- calculs de probabilités et utilisation de la calculatrice

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On considère une expérience aléatoire ayant deux issues possibles $S$ (succès) et $E$ (échec) avec $p(S)=0,3$.
On répète 20 fois successivement cette expérience aléatoire de manière indépendante et on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de succès obtenus parmi les 20 expériences répétées.
  1. Quelle est la loi de probabilité de $X$?
    Justifier que l'on répète successivement des épreuves de Bernouilli indépendantes.
    L'expérience aléatoire n'a que deux issues possibles $S$ et $E=\overline{S}$, c'est donc une épreuve de Bernouilli.
    On répète 20 fois successivement de manière indépendante cette épreuve de Bernouilli et donc la loi de probabilité de $X$ (nombre de fois où l'on obtient $S$ parmi les 20 épreuves) suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,3$ notée $\mathcal{B}(20;0,3)$.

    $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20;0,3)$

  2. Calculer $p(X=0)$ puis $p(X=5)$.
  3. Calculer $p(X\geq 1)$
    $p(X\geq 1)=1-p(X<1)=1-p(X=0)$


 
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