Exercice 934

Justifier une loi binomiale et calculs de probabilités(extrait BAC)

Contenu

- justifier qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale
- coefficients binomiaux
- calculs de probabilités et utilisation de la calculatrice
- espérance avec une loi binomiale

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Une grande entreprise dispose d'une base de données avec les 10 000 adresses de ses clients.
Dans cette liste d'adresses, 200 sont erronées mais on ne sait pas lesquelles.
Cette entreprise décide d'envoyer d'envoyer une publicité à 50 de ses clients choisis au hasard parmi les 10 000.
  1. Expliquer rapidement pourquoi on peut assimiler le tirage des 50 adresses au hasard à des tirages successifs avec remise.
    Si le nombre d'éléments $n$ est très grand, les probabilités d'obtenir une adresse erronée parmi les $n$ éléments ou parmi $n-1$ éléments sont sensiblement égales.
    Le nombre de clients étant suffisamment grand, donc les probabilités d'obtenir une adresse fausse parmi 10 000 adresses ou bien parmi 9999 adresses sont sensiblement égales.

    On peut assimiler ce tirage à un tirage avec remise.

    En effet, si par exemple, on prend une première adresse, la probabilité que celle-ci soit correcte est $\dfrac{9800}{10000}=0,98$.
    Si la première adresse tirée est correcte, la probabilité qu'elle soit correcte pour le second tirage est $\dfrac{9779}{9999}$.
    Si la première adresse tirée est incorrecte, la probabilité qu'elle soit correcte pour le second tirage est $\dfrac{9800}{9999}$.
    Or $\dfrac{9779}{9999}\simeq \dfrac{9800}{9999} \simeq \dfrac{9800}{10000}$
  2. En justifiant soigneusement la variable aléatoire choisie et la loi de probabilité de celle-ci, calculer la probabilités que les 50 adresses soient correctes.
    identifier le schéma de Bernouilli correspondant à cette situation.
    préciser la variable aléatoire à utiliser pour répondre à la question puis les paramètres de la loi binomiale suivie par cette variable aléatoire.
    On considère l'expérience aléatoire consistant à choisir une adresse au hasard parmi les 10000 adresses.
    Cette expérience aléatoire a deux issues possibles:
    - soit elle est incorrecte, on notera cet événement $F$
    - soit elle est correcte, événement $\overline{F}$

    On répète successivement 50 fois ces épreuves de Brenouilli indépendantes (puisque les tirages peuvent-être assimilés à des tirages successifs avec remise) et on note $X$ la variable aléatoire associant le nombre d'adresse correctes parmi les 50 sélectionnées.
    La loi de probabilité de $X$ suit donc une loi Binomiale de paramètres 50 et $p(F)=\dfrac{200}{10000}=0,02$

    $X$, nombre d'adresses incorrectes parmi les 50 choisies suit la loi $\mathcal{B}(50;0,02)$

    Si les 50 adresses sont correctes, il n'y en a aucune incorrecte soit $X=0$.
    On veut donc calculer $p(X=0)$:
    $p(X=0)=\begin{pmatrix} 50\\ 0\\ \end{pmatrix}\times 0,02^0\times 0,98^{50} =0,98^{50}\approx 0,364$

    La probabilité que les 50 adresses soient correctes est $0.98^{50}$ soit environ 0,364
  3. Calculer la probabilité que 2 adresses sur les 50 soient erronées
    Si deux adresses sont incorrectes, on a $X=2$
  4. Calculer la probabilité que moins de 5 adresses (cinq ou moins de 5) sur les 50 soient erronées.
    Si 5 adresses ou moins sont incorrectes parmi les 50, on a $X \leq 5$
  5. Si on effectue un tirage de 50 adresses parmi les 10 000 un grand nombre de fois, quel sera en moyenne le nombre d'adresses incorrectes parmi ces 50.
    Il faut calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$


 
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