Exercice 935

Justifier une loi binomiale et calculs de probabilités

Contenu

- justifier qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale
- nombre d'épreuves à répéter pour obtenir une probabilité donnée
- résolution d'une inéquation avec des exposants, utilisation du logarithme

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Dans une urne contenant 50 boules indiscernables au toucher, on place 20 boules blanches et les autres sont blanches.
  1. On tire au hasard et avec remise successivement 10 boules dans l'urne.
    1. Justifier que la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de boules blanches obtenues suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
      Identifier le schéma de Bernouilli correspondant à cette situation.
      Vérifier que qu'il y a bien indépendance et préciser les paramètres de la loi binomiale suivie par cette variable aléatoire.
      On considère l'expérience aléatoire consistant à prendre une boule au hasard dans l'urne
      Cette expérience aléatoire a deux issues possibles:
      - soit la boule est blanche, on notera cet événement $B$
      - soit la boule est noire, événement $\overline{B}$

      On répète successivement 10 fois cette épreuve de Bernouilli de manière indépendante (puisque les tirages successifs sont faits avec remise) et on note $X$ la variable aléatoire associant le nombre de boules blanches obtenues parmi les 10 sélectionnées.
      La loi de probabilité de $X$ suit donc une loi Binomiale de paramètres 10 et $p(B)=\dfrac{20}{50}=0,4$

      $X$, nombre de boules blanches obtenues choisies suit la loi $\mathcal{B}\left(10;0,4\right)$
    2. Exprimer la probabilité, arrondie aux centièmes, d'obtenir au moins une boule blanche parmi les 10 boules tirées.
      On veut calculer $p(X\geq 1)=1-p(X=0)$
  2. On effectue maintenant $n$ tirages successifs avec remise.
    1. Exprimer la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche en fonction de $n$.
      On a maintenant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p(B)=0,4$
    2. Déterminer le nombre minimum de tirages à effectuer pour que la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche soit supérieure ou égale à 0,95.
      Il faut résoudre $1-0,6^n \geq 0,95$ en utilisant les logarithmes et la propriété $ln\left(a^n\right)=nln(a)$ avec $a>0$


 
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