Exercice 936

Justifier une loi binomiale et probabilités avec une équation

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- justifier qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale
- déterminer une probabilité en fonction de $n$ nombre de boules d'une urne
- inéquation avec des exposants, utilisation du logarithme

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Dans une urne contenant 100 boules indiscernables au toucher, on place $n$ boules blanches et les autres sont noires.
On tire au hasard et avec remise successivement 10 boules dans l'urne.
  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de boules blanches obtenues suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres,
    Identifier le schéma de Bernouilli correspondant à cette situation.
    Vérifier que qu'il y a bien indépendance et préciser les paramètres de la loi binomiale suivie par cette variable aléatoire.
    On considère l'expérience aléatoire consistant à prendre une boule au hasard dans l'urne
    Cette expérience aléatoire a deux issues possibles:
    - soit la boule est blanche, on notera cet événement $B$
    - soit la boule est noire, événement $\overline{B}$

    On répète successivement 10 fois cette épreuve de Bernouilli de manière indépendante (puisque les tirages successifs sont faits avec remise) et on note $X$ la variable aléatoire associant le nombre de boules blanches obtenues parmi les 10 sélectionnées.
    La loi de probabilité de $X$ suit donc une loi Binomiale de paramètres 10 et $p(B)=\dfrac{n}{100}$

    $X$, nombre de boules blanches obtenues suit la loi $\mathcal{B}\left(10;\dfrac{n}{100}\right)$
  2. Exprimer la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche parmi les 10 boules tirées en fonction de $n$.
    On veut calculer $p(X\geq 1)=1-p(X=0)$
  3. Déterminer le nombre minimum de boules blanches à placer dans l'urne pour que la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche soit supérieure ou égale à 0,5.
    Il faut résoudre $p(X\geq 1)\geq 0,5$ et on peut ultiliser la propriété $ln\left(a^n\right)=nln(a)$ avec $a>0$


 
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