Exercice 937

extrait BAC 2015 sujet Asie

Contenu

- justifier une loi binomiale
- calcul de probabilités
- espérance d'une loi binomiale

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Un concurrent participe à un concours de tir à l'arc, sur une cible circulaire.
À chaque tir, la probabilité qu'il atteigne la cible est égale à $0,8$.
  1. Le concurrent tire quatre flèches. On considère que les tirs sont indépendants.
    Déterminer la probabilité qu'il atteigne au moins trois fois la cible.
    Justifier que la variable aléatoire comptant le nombre de flèches ayant atteint la cible parmi les quatre suit une loi binomiale et préciser ses paramètres
    On considère l'expérience aléatoire consistant à lancer une flèche avec les deux issues (épreuve de Bernouilli) possibles $S$:" la flèche atteint la cible" et $E=\overline{S}$: " la flèche n'atteint pas la cible".
    On a alors $p(S)=0,8$ et $p(E)=1-p(S)=0,2$.
    Chaque épreuve (chaque tir) est indépendante des autres (les tirs sont indépendants) et on répète 4 fois cette épreuve de Bernouilli.
    On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de flèches ayant atteint la cible (nombre de succès $S$) et

    donc $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,8$ notée $\mathcal{B}(4;0,8)$.

    On veut atteindre au moins 3 fois la cible donc on veut $X\geq 3$
    $p(X\geq 3)=p(X=3)+p(X=4)$
    $\phantom{p(X\geq 3)}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}p(S)^3p(E)+\begin{pmatrix} 4\\4 \end{pmatrix}p(S)^4p(E)^0$
    $\phantom{p(X\geq 3)}=3\times 0,8^3\times 0,2+0,8^4$
    $\phantom{p(X\geq 3)}=0,8192$

    La probabilité d'atteindre au moins trois fois la cible sur les 4 tirs est $p(X\geq 3)=0,8192$

    Remarque
    Avec la calculatrice, on peut calculer directement $p(X\geq 3)$ en écrivant:
    $p(X\geq 3)=1-p(X < 3)=1-p(X\leq 2)$
    En utilisant le MENU STAT (CASIO) puis DIST puis BIN puis Bcd, on a:

    et donc $p(X\geq 3)=1-p(X\leq 2)=1-0,1808=0,8192$
    Avec TI, on calcule $p(X\leq 2)$ avec BinomialCdf et la syntaxe BinomialCdf(2,4,0.2).
  2. Combien de flèches le concurrent doit-il prévoir pour atteindre en moyenne la cible douze fois ?
    On répète $n$ fois l'érpeuve de Bernouilli


 
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