Exercice 951

ROC indépendance (vu au BAC)

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- indépendance de deux événements
- indépendance avec l'événement contraire

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$A$ et $B$ désignent deux événements.
On rappelle que les événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $p(A)p(B)=p(A\cap B)$
  1. Montrer que $p(A)=p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B})$.
    $A=(A\cap B)\cup (A\cap \overline{B})$
    $p(A)=p\left((A\cap B)\cup (A\cap \overline{B})\right)$
    $\phantom{p(A)}=p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B})-p\left((A\cap B)\cap (A\cap \overline{B})\right)$
    or $A\cap B$ et $A\cap \overline{B}$ sont disjoints
    donc $p\left((A\cap B)\cap (A\cap \overline{B})\right)=0$

    donc $p(A)=p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B})$
  2. En déduire que si $A$ et $B$ sont indépendants on a $p(A\cap \overline{B})=p(A)\times p(\overline{B})$
    Avec la question 1, on a $p(A)=p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B})$ soit $p(A)-p(A\cap B)=p(A\cap \overline{B})$


 
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