Exercice 992

Arbre de probabilités et calculs de probabilités- espérance d'une variable aléatoire (extrait BAC)

Contenu

- arbre pondéré et probabilités conditionnelles
- formule des probabilités totales
- loi de probabilité d'une variable aléatoire
- espérance d'une variable aléatoire

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Une usine fabrique des moteurs électriques pour l'industrie spatiale. Ceux-ci doivent être très fiables et performants; pour cela ils passent des contrôles très sévères.
Chaque moteur est testé en fin de fabrication. Si le test est positif, le moteur est acheminé chez le client ;
si le test est négatif, le moteur retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si, cette fois, le test est positif, le moteur part chez le client mais, si le test est négatif, le moteur est définitivement écarté et détruit.
Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 85% des moteurs neufs sortis directement des chaines de fabrication mais que, parmi les moteurs révisés, seulement 65 % d'entre eux passent le second test avec succès.
On note $P$ l'événement "Le premier test est positif" et $E$ l'événement "Le moteur est envoyé chez le client".
Sauf avis contraire, on donnera les valeurs décimales exactes des probabilités demandées.
Partie A
On choisit un moteur au hasard dans la chaine de fabrication.
  1. Compléter l' arbre de probabilité illustrant les différents cas qui peuvent se présenter pour ce moteur.
    Le test est positif pour 85% des moteurs neufs donc $P(P)=0,85$
    parmi les moteurs révisés, seulement 65 % d'entre eux passent le second test avec succès donc $p_{\overline{P}}(E)=0,65$
    On a donc:
  2. Donner la probabilité pour que le premier test en fin de fabrication soit positif pour ce moteur et donc que le moteur soit envoyé chez le client.
    On veut calculer $p(P\cap E)$
    La probabilité pour que le premier test en fin de fabrication soit positif pour ce moteur et donc que le moteur soit envoyé chez le client se note $p(P\cap E)$
    $p(P\cap E)=p(P)\times p_P(E)=p(P)=0,85$

    La probabilité pour que le 1er test soit positif et que le moteur soit envoyé est $p(P\cap E)=0,85$
  3. Calculer la probabilité pour que ce moteur doive être révisé et soit ensuite acheminé chez le client.
    Cette probabilité se note $p(\overline{P}\cap E)$
  4. Calculer la probabilité pour que ce moteur soit finalement écarté et détruit.
    Cette probabilité se note $p(\overline{P} \cap \overline{E})$
  5. Calculer la probabilité pour que ce moteur soit envoyé chez le client.
    On veut calculer $p(E)$ avec la formule des probabilités totales


Partie B
La fabrication d'un moteur revient à 1000 euros auxquels il faut rajouter 100 euros si le moteur est révisé. Un moteur est facturé au client la somme de $t$ euros ($t$ nombre réel positif). Soit $X$ la valeur du gain associé à chaque moteur fabriqué (éventuellement négatif) .
  1. Déterminer en fonction de $t$ les trois valeurs que peut prendre $X$ et déterminer la loi de probabilité de $X$.
    (On rappelle que le bénéfice est la différence entre le prix de vente et le prix de revient.)
    Identifier les trois cas possibles sur l'arbre et les valeurs du bénéfice correspondantes...
  2. Compléter le tableau ci-dessous et calculer en fonction de $t$ l'espérance mathématique de $X$ On a le tableau suivant:
    A chaque valeur de $X$ correspond un parcours sur l'arbre.
  3. En déduire la valeur de $t$ à partir de laquelle l'entreprise fera un bénéfice positif en vendant un grand nombre de moteurs (arrondir à l'euro près).
    On veut $E(X)\geq0$


 
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