Exercice 994

Arbre-probabilités conditionnelles et totales-espérance et variable aléatoire(d'après BAC)

Contenu

- probabilités conditionnelles et arbre de probabilités
- formule des probabilités totales
- loi de probabilité d'une variable aléatoire, espérance et interprétation

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Une résidence de vacances propose deux types d'appartements (studio et deux-pièces) à louer à la semaine. L'appartement doit être restitué parfaitement propre en fin de séjour.
Le locataire peut décider de le nettoyer lui-même ou peut choisir l'une des deux formules d'entretien suivantes : la formule Simple (nettoyage de l'appartement en fin de séjour par le personnel d'entretien) ou la formule Confort (nettoyage quotidien du logement durant la semaine et nettoyage complet en fin de séjour par le personnel d'entretien).
Le gestionnaire a constaté que :
$60$% des locataires optent pour un studio et parmi ceux-ci $20$% ne souscrivent aucune formule d'entretien ;
La formule Simple a beaucoup de succès : elle est choisie par $45$% des locataires de Studio et par $55$% des locataires de deux-pièces ;
$18$% des locataires ne souscrivent aucune formule.
On rencontre un résident au hasard.
Soit $S$ l'évènement "Le résident a loué un studio "
$A$ l'évènement "Le résident a souscrit la formule Simple"
$B$ l'évènement "Le résident a souscrit la formule Confort "
$R$ l'évènement "Le résident n'a souscrit aucune formule d'entretien ".
Partie A
  1. Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
    Traduire les donn´´es avec les notaions de l'énoncé.
    Les probabilités non conditionnelles sont à placer au premier niveau de l'arbre
    $60$% des locataires optent pour un studio donc $p(S)=0,6$
    Parmi les locataires optant pour un studio ceux-ci $20$% ne souscrivent aucune formule d'entretien donc $p_S(R)=0,2$
    La formule Simple a beaucoup de succès et est choisie par $45$% des locataires de Studio donc $p_S(A)=0,45$
    La formule Simple est choisie par $55$% des locataires de deux-pièces donc $p_{\overline{S}}(A)=0,55$.
    $18$% des locataires ne souscrivent aucune formule donc $p(R)=0,18$.
    On a donc l'arbre suivant:
  2. Quelle est la probabilité que le résident ait loué un deux-pièces ?
    $p(\overline S)=1-p(S)=1-\frac{60}{100}=0,4$

    La probabilité que le résident ait loué un deux-pièces est $p(\overline S)=0,4$.
  3. Calculer $P_{S}(B)$.
    La somme des probabilités des branches partant d'un sommet de l'arbre est égale à 1
  4. Calculer $P(R \cap S)$ et en déduire $p\left(R \cap \overline{S}\right)$.
    Utiliser la formule des probabilités totales avec $p(
  5. Le résident a loué un deux-pièces. Montrer que la probabilité qu'il assure lui-même le nettoyage de son appartement est 0,15.
    On veut calculer $p_{\overline{S}}(R)$

Partie B
  1. Le gestionnaire affirme que près de la moitié des résidents choisit la formule Simple. Présenter les calculs qui justifient son affirmation.
    On veut calculer $p(A)$
    Utiliser la formule des probabilités totales.
  2. La location d'un studio à la semaine coûte 350 euros, celle d'un deux-pièces 480 euros.
    La formule Simple coûte 20 euros et la formule Confort 40 euros.
    Soit L le coût de la semaine (loyer et entretien) ; il prend différentes valeurs $L_{i}$. On désigne par $p_{i}$, la probabilité que le coût de la semaine soit égal à $L_{i}$.
    Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
    Identifier le parcours sur l'arbre correspondant à 370 euros, 480 euros puis 500 euros
  3. Calculer l'espérance de L. En donner une interprétation.


 
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