Exercice 997

Probabilités, suites et algorithme(BAC Pondichéry 2013)

Contenu

- arbre de probabilités, probabilités conditionnelles, probabilités totales
- formule des probabilités totales menant à l'étude d'une suite
- suite arithmético-géométrique et suite géométrique
- limite d'une suite géométrique
- loi binomiale

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Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.
Un salarié malade est absent
- La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade.
- Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$.
- Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$.
On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l'évènement "le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine ". On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$.
On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \leqslant p_{n} < 1$.
    1. Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre arbre de probabilité.
      On a $p_{E_1}(E_2)=0,24$ et $p_{\overeline{E_1}}(E_2)=0,04$...
      On a donc l'arbre suivant pour les trois premières semaines:

      $p_3=p(E_3)=p(E_1\cap E_2 \cap E_3)+p(E_1\cap \overline{E_2} \cap E_3)=0,04\times 0,24+0,96\times 0,04=0,048$

      La probabilité qu¡il soit malade la troisième semaine est $p_3=0,048$.

      Remarque
      Comme $p(E_1)=p_1=0$ on pouvait seulement faire un arbre avec les semaines 2 et 3.
      On a alors:

      $E_2$ et $\overline{E_2}$ forment une partition de l'univers et d'après la formule des probabilités totales, on a $p(E_3)=p(E_2\cap E_3)+p(\overline{E_2}\cap E_3)$...
    2. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
      On veut calculer $p_{E_3}(E_2)$
      $p_{E_3}(E_2)=\dfrac{p(E_2\cap E_3)}{p(E_3)}=\dfrac{0,04\times 0,24}{0,048}=0,2$

      La probabilité qu'il soit absent la 2ième semaine sachant qu'il l'a été la deuxième est $p_{E_3}(E_2)=0,2$
  1. Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$.
    2. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$.
      En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$.
      Il faut montrer que $u_{n+1}=qu_n$ où $q$ est la raison en utilisant $u_{n+1}=p_{n+1}-0,05$ et $p_{n+1}=0,2p_n+0,04$
      Il faut ensuite calculer $u_1=p_1-0,05$ pus $p_n=u_n+0,05$
    3. En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$.
      Il faut chercher la limite de la suite $(u_n)$
    4. On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l'algorithme suivant :

      À quoi correspond l'affichage final J ?
      Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
      $p$ rerprésente les valeurs successives de $p_n$ et $J$ les indices.
      La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 0,05
  2. Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à $p = 0,05$.
    On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.
    On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
    1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
      On considère l'épreuve de Bernouilli consistant à chosir un salarié au hasard.
    2. Calculer la probabilité, arrondie aux millièmes, qu'il y ait 5 salariés malades une semaine donnée.


 
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