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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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- mémo cours
- exercices corrigés d'application directe
- liens vidéos d'explications.
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Déterminer à quel ensemble appartient chaque nombre (on donnera le plus petit ensemble possible).
  1. $(1+\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}$

    Identités remarquables


    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
    Développer et simplifier l'expression
    $(1+\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}=1+2\times \sqrt{2}+\sqrt{2}^2-2\sqrt{2}$
    $\phantom{(1+\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}}=1+2\sqrt{2}+2-2\sqrt{2}$
    $\phantom{(1+\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}}=1+2$
    $\phantom{(1+\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}}=3$
  2. $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-\dfrac{13}{9}$

    Ensembles de nombres et notations


    - Entiers naturels: $\mathbb{N}$
    $\mathbb{N}=\lbrace 0;1;2;3;4...\rbrace$
    Entiers relatifs: $\mathbb{Z}$
    $\mathbb{Z}=\lbrace .......-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4...\rbrace$
    - Nombres décimaux: $\mathbb{D}$
    Ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel c'est à dire dont la partie décimale est finie.
    Nombres rationnels: $\mathbb{Q}$}
    $\mathbb{Q}$ est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$ avec $a$ entier relatif et $b$ entier naturel non nul.
    Nombres réels: $\mathbb{R}$}
    Pour le moment, tous les nombres utilisés en seconde...
    remarque
    $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
    Ce qui signifie que $\mathbb{N}$ est contenu (inclus) dans $\mathbb{Z}$ lui-même contenu dans $\mathbb{D}$ lui-même contenu dans $\mathbb{Q}$ lui-même contenu dans $\mathbb{R}$.
    $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-\dfrac{13}{9}= \dfrac{4}{9}-\dfrac{13}{9}$
    $\phantom{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-\dfrac{13}{9}}= \dfrac{-9}{9}$
    $\phantom{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-\dfrac{13}{9}}= -1$
  3. $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$

    Identités remarquables


    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
    On peut développer en utilisant la troisième identité remarquable
    $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-\sqrt{3}^2=4-3=1$
  4. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\dfrac{1+\sqrt{3}}{3}$
    On peut multiplier $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ par $\sqrt{3}$ au numérateur et au dénominateur pour ne plus avoir de racine carrée au dénominateur
    $\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\dfrac{1+\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}-\dfrac{1+\sqrt{3}}{3}$
    $\phantom{\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\dfrac{1+\sqrt{3}}{3}}=\dfrac{ \sqrt{3}}{3}-\dfrac{1+\sqrt{3}}{3}$
    $\phantom{\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\dfrac{1+\sqrt{3}}{3}}=\dfrac{ \sqrt{3}-1-\sqrt{3}}{3}$ signe $-$ devant la barre de fraction
    $\phantom{\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\dfrac{1+\sqrt{3}}{3}}=\dfrac{ -1}{3}$

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