Publications MATHS-LYCEE.FR

mémo+exercices corrigés+liens vidéos

L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

RÉUSSIR EN MATHS, C'EST POSSIBLE!
Tous les chapitres avec pour chaque notion:
- mémo cours
- exercices corrigés d'application directe
- liens vidéos d'explications.
Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos

Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!

Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.
*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
PDF reservé aux abonnés
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-4x^2+2x+5$ et de la droite $(d)$ d'équation $y=-6x+8$.
  1. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)>-6x+8$
    Il faut déterminer les abscisses des points de la parabole situés au-dessus de la droite.
    Graphiquement, les solutions de l'inéquation $f(x)>-6x+8$ sont les abscisses (en vert) des points de la courbe (en orange) situés strictement au-dessus de la droite $(d)$.

  2. Montrer que résoudre l'inéquation $-4x^2+8x-3>0$ revient à déterminer les abscisses des points de la parabole situés au-dessus de la droite.
    On veut $f(x)>-6x+8$ et il faut se ramener à une inéquation de la forme $ax^2+bx+c>0$
    $f(x)>-6x+8 \Longleftrightarrow -4x^2+2x+5>-6x+8$
    $\phantom{f(x)>-6x+8} \Longleftrightarrow -4x^2+2x+5+6x-8>0$
    $\phantom{f(x)>-6x+8} \Longleftrightarrow -4x^2+8x-3>0$
  3. Montrer que pour tout réel $x$ on a $-4x^2+8x-3=-4(x-1)^2+1$

    Identités remarquables


    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
    On peut partir du membre de droite $-4(x-1)^2+1$ et essayer de développer l'expression obtenue
    $-4(x-1)^2+1=-4(x^2-2x+1)+1=-4x^2+8x-4+1=-4x^2+8x-3$
  4. Résoudre alors l'inéquation $f(x)>-6x+8$.

    Signe de $ax+b$


    Deux cas possibles:
    Il faut finalement résoudre l'inéquation $-4(x-1)^2+1>0$
    Il faut factoriser $1-4(x-1)^2$ en utilisant la troisième identité remarquable puis dresser un tableau de signes
    $-4(x-1)^2+1=1-4(x-1)^2$
    $\phantom{-4(x-1)^2+1}=1-(2(x-1))^2$
    $\phantom{-4(x-1)^2+1}=1-(2x-2)^2$
    $\phantom{-4(x-1)^2+1}=(1-(2x-2))(1+(2x-2))$ (troisième identité remarquable avec $a=1$ et $b=2x-2$
    $\phantom{-4(x-1)^2+1}=(1-2x+2)(1+2x-2)$
    $\phantom{-4(x-1)^2+1}=(-2x+3)(2x-1)$
    En utilisant les calculs précédents, on a:
    $f(x)>-6x+8 \Longleftrightarrow -4x^2+8x-3>0 \Longleftrightarrow (-2x+3)(2x-1)>0$
    $-2x+3=0 \Longleftrightarrow -2x=-3 \Longleftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$
    $-2x+3$ s'annule donc pour $x=\dfrac{3}{2}$
    $2x-1=0 \Longleftrightarrow 2x=1 \Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$
    $2x-1$ s'annule pour $x=\dfrac{1}{2}$

    On a donc $(-2x+3)(2x-1)>0$ pour $x\in \left]\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right[$.


    On retrouve les valeurs lues graphiquement à la question 1.

Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)

exercices semblables


Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.