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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3$ et on donne ci-dessous sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
  1. Résoudre graphiquement l'équation $x^3=8$.

    Antécédents par une fonction


    $f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
    $a$ est un antécédent de $b$ par $f$ si $f(a)=b$.
    Un réel $b$ peut avoir plusieurs antécédents par $f$ ou bien même aucun antécédent.
    Pour déterminer pare le calcul les antécédents, s'ils existent de $b$ par $f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=b$.
    Pour déterminer graphiquement un ou les antécédents de $b$ par $f$, s'il(s) existe(nt), il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ d'ordonnée $b$
    Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe ayant une ordonnée égale à 8
    Graphiquement, il faut tracer la droite d'équation $y=8$.
    Les solutions de l'équation $f(x)=8$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de cette droite.



    $f(2)=2^3=2\times 2\times 2=8$
  2. Donner le nombre de solutions de l'équation $x^3=3$ puis en donner un encadrement d'amplitude $0,2$.
    Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe ayant une ordonnée égale à 3
    Un encadrement d'amplitude $0,5$ est par exemple $1,8 < x < 2$ (écart $0,2$ entre les deux bornes de l'encadrement
    Graphiquement, il faut tracer la droite d'équation $y=3$.
    Les solutions de l'équation $f(x)=3$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de cette droite.

  3. Résoudre l'inéquation $x^3 \geq -8$.
    Il faut chercher les abscisses des points de la courbe ayant une ordonnée supérieure ou égale à $-8$
    On a $f(2)=8$ donc $f(-2)=-8$ car la fonction cube est impaire.
    $f(-2)=(-2)^3=-8$
    $f$ est strictement croissante donc $f(x)\geq -8$ pour $x\geq -2$

    Graphiquement, les solutions (en vert) sont les abscisses des points de la courbe (en bleu) ayant une ordonnée supérieure ou égale à $-8$.

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