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Dans un repère orthogonal, on donne $A(-1;3)$, $B(1;1)$, $C(2;2)$ et $D(3;4)$.
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- Déterminer les coordonnées de $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}$.
Coordonnées d'un vecteur défini par deux points
Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)Coordonnées de la somme et du produit par un réel
Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x';y')$ alors:
$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{w} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=x'\\ y=y' \end{cases}$
$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}(x+x';y+y')$
$k\overrightarrow{u}(kx;ky)$Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et les coordonnées des deux vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $3\overrightarrow{AB}$ doivent être égales.$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=1-(-1)=2\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-3=-2 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}(2;-2)$
penser à contrôler les coordonnées obtenues pour $\overrightarrow{AB}$ sur le graphique
On pose $M(x;y)$.
$\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow \begin{cases} x-x_A=3x_{\overrightarrow{AB}}\\ y-y_A=3y_{\overrightarrow{AB}} \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x-(-1)=3\times 2\\ y-3=3\times (-2) \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x+1=6\\ y-3=-6 \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x=5\\ y=-3 \end{cases}$
Contrôle graphique
- Déterminer les coordonnées de $N$ tel que $\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}$.
Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AD}$ et les coordonnées des deux vecteurs $\overrightarrow{AN}$ et $\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}$ doivent être égales.$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AD}}=x_D-x_A=3-(-1)=4\\ y_{\overrightarrow{AD}}=y_D-y_A=4-3=1 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AD}(4;1)$
penser à contrôler les coordonnées obtenues pour $\overrightarrow{AD}$ sur le graphique
On pose $N(x;y)$.
$\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\Longleftrightarrow \begin{cases} x-x_A=\dfrac{3}{2}x_{\overrightarrow{AD}}\\ y-y_A=\dfrac{3}{2}y_{\overrightarrow{AD}} \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x-(-1)=\dfrac{3}{2}\times 4\\ y-3=\dfrac{3}{2}\times 1 \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x+1=6\\ y-3=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x=5\\ y=\dfrac{9}{2} \end{cases}$
Contrôle graphique
- Déterminer les coordonnées de $P$ tel que $C$ soit le milieu de $[AP]$.
Coordonnées du milieu d'un segment
Dans un repère du plan, si on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$$C$ milieu de $[AP]$
Pour les abscisses, on a $x_C=\dfrac{x_A+x_P}{2}$ (équation d'inconnue $x_P$).On pose $P(x;y)$.
$C$ milieu de $[AP]$.
$\begin{cases} x_C=\dfrac{x_A+x}{2}\\ y_C=\dfrac{y_A+y}{2} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2=\dfrac{-1+x}{2}\\ 2=\dfrac{3+y}{2} \end{cases} $
$\phantom{\begin{cases} x_C=\dfrac{x_A+x}{2}\\ y_C=\dfrac{y_A+y}{2} \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} 4=-1+x\\ 4=3+y \end{cases} $
$\phantom{\begin{cases} x_C=\dfrac{x_A+x}{2}\\ y_C=\dfrac{y_A+y}{2} \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} 5=x\\ 1=y \end{cases} $
- Montrer que les points $M$, $N$ et $P$ sont alignés.
$x_M=x_N=x_P=5$$x_M=x_N=x_P=5$ donc les trois points appartiennent à la droite parallèle à l'axe des ordonnées et coupant l'axe des abscisses en $x=5$.
On peut aussi calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MP}$ et vérifier qu'ils sont colinéaires en utilisant le critère de colinéarité.
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