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Le point $M$ est défini par la relation $2\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$ avec $A$ et $B$ deux points distincts du plan.
  1. Montrer que $A$, $M$ et $B$ sont alignés

    Vecteurs colinéaires


    Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k\neq 0$ tel que $\overrightarrow{w}=k\overrightarrow{u}$
    Remarque
    Deux vecteurs colinéaires ont donc la même direction
    On peut exprimer $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{BM}$ pour montrer que les vecteurs sont colinéaires
    $2\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$
    $\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{BM}$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BM}$
    donc les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BM}$ sont colinéaires
  2. Exprimer $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ puis construire alors le point $M$.

    Relation de Chasles


    $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
    on peut décomposer $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}$
    $2\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$
    $\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{AM}-3(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM})=\overrightarrow{0}$
    $\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{0}$
    $\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{BA}$
    $\Longleftrightarrow -\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{AB}$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}$


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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Point défini par une relation vectorielle

- construction d'un point (sans repère)
- coordonnées du symétrique d'un point
- calcul des coordonnées d'un point


infos: | 15-20mn |

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