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Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on donne la droite $(d)$ d'équation $3x-2y+5=0$, $(d')$ d'équation $-4x-3y+9=0$ et $(d'')$ d'équation $-6x+4y+8=0$.
  1. Les droites $(d)$ et $(d')$ sont-elles parallèles ou sécantes?

    Vecteur directeur dans un repère


    Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
    Si $(d)$ est définie par son équation réduite $y=ax+b$, $\overrightarrow{u}(1;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.

    Critère de colinéarité dans un repère


    Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$
    Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de $(d)$ et de $(d')$
    Déterminer ensuite si ces vecteurs sont colinéaires ou non
    Pour $(d)$ on a $a=3$ et $b=-2$ donc $\overrightarrow{u}(2;3)$ est un vecteur directeur de $(d)$
    Pour $(d')$ on a $a'=-4$ et $b'=-3$ donc $\overrightarrow{u}'(3;4)$ est un vecteur directeur de $(d')$
    $det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{u}')=\begin{pmatrix} 2&3\\ 3&4 \end{pmatrix}=2\times 4-3\times 3=-1\neq 0$
    donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}'$ ne sont pas colinéaires
    donc $(d)$ et $(d')$ ne sont pas parallèles
  2. Les droites $(d)$ et $(d'')$ sont-elles parallèles ou sécantes?
    Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de $(d)$ et de $(d'')$
    Déterminer ensuite si ces vecteurs sont colinéaires ou non
    Rappel: $\overrightarrow{u}(2;3)$ est un vecteur directeur de $(d)$
    Pour $(d'')$ on a $a''=-6$ et $b''=4$ donc $\overrightarrow{u}''(-4;-6)$ est un vecteur directeur de $(d'')$
    $det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{u}'')=\begin{pmatrix} 2&-4\\ 3&-6 \end{pmatrix}=2\times (-6)-(-4)\times 3=-12+12=0$
    donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}''$ sont colinéaires
  3. Contrôler les résultats en traçant les droites (avec GEOGEBRA par exemple)
    Saisir l'équation de chacune des droites dans la barre de saisie de GEOGEBRA
    On peut saisir les équations dans la barre de saisie de GEOGEBRA.

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