$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=3-(-3)=6\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=4-2=2 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}(6;2)$

Soit $M(x;y)\in (AB)$ $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-(-3)=x+3\\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-2 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AM}(x+3;y-2)$

$M\in (AB)$
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{AM}}y_{\overrightarrow{AB}}-y_{\overrightarrow{AM}}x_{\overrightarrow{AB}}=0$
$\Longleftrightarrow (x+3)\times 2-(y-2)\times 6=0$
$\Longleftrightarrow 2x+6-6y+12=0$
$\Longleftrightarrow 2x-6y+18=0$
$\Longleftrightarrow x-3y+9=0$
$x-3y+9=0$ est une équation cartésienne de $(AB)$
Remarque On peut aussi utiliser les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(6;2)$ pour obtenir les coefficients $a$ et $b$ de l'équation $ax+by+c=0$
$\overrightarrow{AB}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(AB)$ d'équation $ax+by+c=0$
donc $a=y_{\overrightarrow{AB}}=2$ et $b=-x_{\overrightarrow{AB}}=-6$
donc $(AB)$: $2x-6y+c=0$
$A(-3;2)\in (AB)$
$\Longleftrightarrow 2x_A-6y_A+c=0$
$\Longleftrightarrow -6-12+c=0$
$\Longleftrightarrow c=18$
donc une équation cartésienne de $(AB)$ est $2x-6y+18=0$
soit $x-3y+9=0$

Soit $M(x;y)\in (d_1)$ $\begin{cases} x_{\overrightarrow{BM}}=x_M-x_B=x-3\\ y_{\overrightarrow{BM}}=y_M-y_B=y-4 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{BM}(x-3;y-4)$

$M\in (d_1)$
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{BM}}y_{\overrightarrow{u}}-y_{\overrightarrow{BM}}x_{\overrightarrow{u}}=0$
$\Longleftrightarrow (x-3)\times (-3)-(y-4)\times 1=0$
$\Longleftrightarrow -3x+9-y+4=0$
$\Longleftrightarrow -3x-y+13=0$
$-3x-y+13=0$ est une équation cartésienne de $(d_1)$
Remarque On peut aussi utiliser les coordonnées de $\overrightarrow{u}(-1;3)$ pour obtenir les coefficients $a$ et $b$ de l'équation $ax+by+c=0$
$\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(d_1)$ d'équation $ax+by+c=0$
donc $a=y_{\overrightarrow{u}}=3$ et $b=-x_{\overrightarrow{u}}=1$
donc $(AB)$: $3x+1y+c=0$
$B(3;4)\in (d_1)$
$\Longleftrightarrow 3x_B+y_B+c=0$
$\Longleftrightarrow 9+4+c=0$
$\Longleftrightarrow c=-13$
donc une équation cartésienne de $(d_1)$ est $3x+y-13=0$

$x_A+2y_A-1=-3+2\times 2-1=-3+-1=0$
donc $A\in (d_2)$
$(d_2)$ a pour équation $x+2y-1=0$ donc $\overrightarrow{v}(-2;1)$ est un vecteur directeur de $(d_2)$

$\overrightarrow{v}(-2;1)$ est un vecteur directeur de $(d_2)$ d'équation $x+2y-1=0$ et $\overrightarrow{u}(-1;3)$ est un vecteur directeur de $d_1)$
$x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{v}}-y_{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{v}}$
$=-1\times 1-3\times (-2)$
$=-1+6$
$=5\neq 0$
donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires
donc $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles
donc $(d_1)$ et $(d_2)$ sont sécantes

Pour trouver les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites, il faut résoudre le système d'équations formé avec une équation de chacune d'elles:
$\begin{cases} x+2y-1=0 \\ -3x-y+13=0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} x=-2y+1 \\ -3(-2y+1)-y+13=0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} x=-2y+1 \\ 6y-3-y+13=0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} x=-2y+1 \\ 5y+10=0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} x=-2y+1 \\ 5y=-10 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} x=-2\times (-2)+1=5 \\ y=\dfrac{-10}{5}=-2 \end{cases}$
$C(5;-2)$

$I$ milieu de $[AC]$
$\begin{cases} x_I=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{-3+5}{2}=1 \\ y_I=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{2-2}{2}=0 \end{cases}$
$I(1;0)$
$D$ symétrique de $B$ par rapport à $I$
$\Longleftrightarrow I$ milieu de $[BD]$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} x_I=\dfrac{x_B+x_D}{2} \\ y_I=\dfrac{y_A+y_C}{2} \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} 1=\dfrac{3+x_D}{2} \\ 0=\dfrac{4+y_C}{2} \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} 2=3+x_D \\ 0=4+y_C \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} -1=x_D \\ -4=y_C \end{cases}$
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
$D(-1;-4)$
Remarque
On peut aussi utiliser l'égalité vectorielle caractérisant le milieu de $[BD]$
$\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{ID}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} x_I-x_B=x_D-x_I \\ y_I-y_B=y_D-y_I \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} 1-3=x_D- 1 \\ 0-4=y_D-0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} -1=x_D \\ -4=y_D \end{cases}$

D'après la question 1, on a $\overrightarrow{AB}(6;2)$
donc $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}$ unités
$BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(-2-4)^2}=\sqrt{40}$ unités
$AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(5-(-3))^2+(-2-2)^2}=\sqrt{80}$ unités L I milieu de [AC] et I milieu de [BD] donc les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en leurs milieux
$AB^2+BC^2=40+40=80$ et $AC^2=80$
donc $AB^2+BC^2=AC^2$ et $AB=BC$
donc le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en B
donc ABCD est un parallélogramme ayant un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur
donc ABCD est un carré

Figure complète de l'exercice