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Un laboratoire veut tester l'efficacité d'un médicament et pour faire la promotion de ce médicament, le laboratoire affirme que celui-ci est efficace dans 75% de cas.
L'organisme chargé du contrôle de cette affirmation effectue un sondage auprès de 150 personnes ayant utilisé ce médicament et le médicament s'est avéré efficace pour 92 personnes.
  1. Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.

    Intervalle de fluctuation


    On prélève un échantillon de taille $n$ dans une population.
    On note $p$ la fréquence du caractère dans la population totale.
    On note $f$ la fréquence du caractère dans l'échantillon prélevé.
    Si $0,2\leq p\leq 0,80$et $n\geq 25$ alors dans au moins 95\ des cas,
    $f$ appartient à l'intervalle $I_F=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ (intervalle de fluctuation de l'échantillon de taille $n$)
    penser á vérifier que les conditions d'application pour effectuer les calculs sont satisfaites
    On ici $n\geq 25$ puisque $n=150$.
    $p=\dfrac{75}{100}=0,75$ donc on a bien $p\in[0,2;0,8]$.
    $p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,75-\dfrac{1}{\sqrt{150}}\approx 0,668$ (il faut arrondir la borne inférieure par défaut)
    $p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,75+\dfrac{1}{\sqrt{150}}\approx 0,832$ (il faut arrondir la borne supérieure par excès)
  2. Doit-on remettre en cause l'affirmation de ce laboratoire?

    Prise de décision


    On veut finalement savoir si l'hypothèse formulée, à savoir la fréquence $p$ de la population totale, peut être validée ou non.
    On utilise alors la fréquence $f$ de l'échantillon:
    Si $f\in I_F$ alors on peut valider l'hypothèse $p$ au seuil de confiance de 95% Si $f\notin I_F$, on peut rejeter l'hypothèse $p$ avec un risque d'erreur maximum de 5%
    On a ici $f=\dfrac{92}{150}$
    La fréquence observée dans l'échantillon de 150 personnes est $f=\dfrac{92}{150}\approx 0,613$
    donc $f\notin I_F$

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