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Voici les résultats d'un sondage effectué auprès de 2000 personnes à propos d'Internet :
- 70% des personnes interrogées déclarent utiliser Internet,
- 35% des personnes interrogées ont moins de 30 ans et, parmi celles-ci, quatre cinquièmes déclarent utiliser par Internet,
- 30% des personnes interrogées ont plus de 60 ans et, parmi celles-ci, 75% n'utilisent pas Internet.
  1. Reproduire et compléter le tableau suivant :

  2. On choisit au hasard une personne parmi les 2000 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. On considère les événements :
    - $A$: "la personne interrogée a moins de 30 ans",
    - $B$: "la personne interrogée utilise Internet"
  3. Calculer les probabilités $p(A)$ et $p(B)$.
    $p(A)=\dfrac{700}{2000}=0,35$ et $p(B)=\dfrac{1400}{2000}=0,7$
  4. Définir par une phrase l'événement $\overline{A}$ puis calculer $p(\overline{A})$.

    Notations des événements et probabilités


    $\Omega$ est l'événement certain et $p(\Omega)=1$
    $\oslash$ est l'événement impossible et $p(\oslash)=0$
    $\overline{A}$ est l'événement contraire de A et est composé de toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas contenue dans A et $p(\overline{A})=1-p(A)$
    $\overline{A}$ est l'événement contraire de $A$
    donc $\overline{A}$ est l'événement "la personne a plus de 30 ans".
    $p(\overline{A})=1-p(A)=1-0,35=0,65$
  5. Définir par une phrase l'événement $A\cap B$ puis calculer $p(A\cap B)$. En déduire $p(A\cup B)$.

    Intersection (A et B) et réunion (A ou B)


    Soient A et B deux événements.
    L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
    Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.

    L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.

    $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
    $A\cap B$ est l'événement "la personne a moins de 30 ans et utilise internet"
    Il y a 560 personnes de moins de 30 ans utilisant internet parmi les 2000 personnes
    $p(A\cap B)=\dfrac{560}{2000}=0,28$

    $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=0,35+0,7-0,28=0,77$.
  6. Un journal publie un article en écrivant que 75% des personnes utilisent internet.
    En utilisant le résultat de l'enquête, doit-on remettre en question l'affirmation de ce journal?

    Intervalle de fluctuation


    On prélève un échantillon de taille $n$ dans une population.
    On note $p$ la fréquence du caractère dans la population totale.
    On note $f$ la fréquence du caractère dans l'échantillon prélevé.
    Si $0,2\leq p\leq 0,80$et $n\geq 25$ alors dans au moins 95\ des cas,
    $f$ appartient à l'intervalle $I_F=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ (intervalle de fluctuation de l'échantillon de taille $n$)

    Prise de décision


    On veut finalement savoir si l'hypothèse formulée, à savoir la fréquence $p$ de la population totale, peut être validée ou non.
    On utilise alors la fréquence $f$ de l'échantillon:
    Si $f\in I_F$ alors on peut valider l'hypothèse $p$ au seuil de confiance de 95% Si $f\notin I_F$, on peut rejeter l'hypothèse $p$ avec un risque d'erreur maximum de 5%
    penser á vérifier que les conditions d'application pour effectuer les calculs sont satisfaites
    Il faut déterminer l'intervalle de fluctuation.
    On ici $n\geq 25$ puisque $n=2000$.
    $p=\dfrac{75}{100}=0,75$ donc on a bien $p\in[0,2;0,8]$.
    $p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,75-\dfrac{1}{\sqrt{2000}}\approx 0,727$ (il faut arrondir la borne inférieure par défaut)
    $p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,75+\dfrac{1}{\sqrt{2000}}\approx 0,773$ (il faut arrondir la borne supérieure par excès)
    Pour l'enquête, on a 70% des personnes qui utilisent internet donc $f=\dfrac{70}{100}=0,7$
    $f\notin I_F$

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