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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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  1. Montrer que la somme de deux entiers impairs est paire.
    Un entier impair s'écrit sous la forme $2k+1$ avec $k\in\mathbb{Z}$
    Soient $n$ et $n'$ deux entiers impairs
    alors il existe $k\in \mathbb{Z}$ et $k'\in \mathbb{Z}$ tels que $n=2k+1$ et $n'=2k'+1$
    $n+n'=2k+1+2k'+1=2k+2k'+2=2(k+k'+1)=2K$
    avec $K=k+k'+1$ et donc $K\in \mathbb{Z}$
  2. Montrer que la somme de deux entiers consécutifs n'est pas divisible par 2.
    Si $n$ et $n+1$ sont deux entiers consécutifs, il y en a un pair et un impair
    Soit $n$ l'un des deux entiers et $n+1$ le suivant, l'un est pair et l'autre impair.
    Supposons que $n$ est pair alors il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n=2k$ et on a alors $n+1=2k+1$.
    $n+n+1=2k+2k+1=4k+1=2(2k)+1=2K+1$ avec $K=2k$
    donc $n+n+1$ est impair donc n'est pas divisible par $2$
  3. Montrer que le carré d'un entier pair est pair et que le carré d'un entier impair est impair.

    Identités remarquables


    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
    On pourra distinguer les cas $n=2k$ et $n=2k+1$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    Premier cas $n$ est pair
    donc il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n=2k$
    $n^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2)=2K$ avec $K=2k^2$ donc $K\in \mathbb{Z}$
    donc $n^2$ est pair

    Deuxième cas $n$ impair
    donc il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n=2k+1$
    $n^2=(2k+1)^2$
    $~~~~=(2k)^2+2\times 2k\times 1+1^2$
    $~~~~~=4k^2+4k+1$
    $~~~~~=2(2k^2+2k)+1$
    $~~~~~=2K+1$ avec $K=2k^2+2k$ et $K\in \mathbb{Z}$
    donc $n^2$ est impair

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