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Pour chaque fonction, déterminer le(ou les) antécédents de $2$ par le calcul

  1. $f(x)=3x-1$ définie sur $\mathbb{R}$.

    Calcul d'un (des) antécédent(s)


    Pour rechercher les antécédents d'un nombre $\alpha$ par une fonction $f$ définie sur $D_f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=\alpha$.
    Les valeurs trouvées doivent appartenir à $D_f$.
    Il faut résoudre l'équation $f(x)=2$
    On veut déterminer la ou les valeurs de $x$ telles que $f(x)=2$.
    Il faut donc résoudre l'équation $f(x)=2$
    $f(x)=2 \Longleftrightarrow 3x-1=2$
    $\phantom{f(x)=2} \Longleftrightarrow 3x=3$
    $\phantom{f(x)=2} \Longleftrightarrow x=1$

  2. $f(x)=x^2-6x+2$ définie sur $\mathbb{R}$.
    Il faut résoudre l'équation $f(x)=2$
    Il faut donc résoudre l'équation $f(x)=2$
    $f(x)=2 \Longleftrightarrow x^2-6x+2=2$
    $\phantom{f(x)=2} \Longleftrightarrow x^2-6x=0$
    $\phantom{f(x)=2} \Longleftrightarrow x(x-6)=0$
    $\phantom{f(x)=2} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x-6=0$ (un produit de facteur est nul si l'un des facteurs est nul)
    $\phantom{f(x)=2} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=6$

  3. $f(x)=\sqrt{x}+6$ définie sur $[0;+\infty[$.
    Il faut donc résoudre l'équation $f(x)=2$
    $f(x)=2 \Longleftrightarrow \sqrt{x}+6=2$
    $\phantom{f(x)=2} \Longleftrightarrow \sqrt{x}=2-6$
    $\phantom{f(x)=2} \Longleftrightarrow \sqrt{x}=-4$
    $\sqrt{x}$ est un nombre positif et ne peut donc être égal à $-4$


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