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La fonction $f$ est définie sur $[-1;6]$ par $f(x)=x^2-4x+1$ et on donne ci-dessous sa représentation graphique.



  1. Résoudre l'équation $f(x)=1$
    Il faut résoudre l'équation $x^2-4x+1=1$ en "passant" le secomd membre à droite et en factorisant.
    $f(x)=1 \Longleftrightarrow x^2-4x+1=1$
    $\phantom{f(x)=1} \Longleftrightarrow x^2-4x=0$
    $\phantom{f(x)=1} \Longleftrightarrow x(x-4)=0$
    $\phantom{f(x)=1} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x-4=0$
    $\phantom{f(x)=1} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=4$


    Graphiquement, il faut vérifier que les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $y=1$ (droite en bleu sur le graphique)

    Graphiquement, les solutions de l'équation $f(x)=1$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $y=1$
    donc $f(x)=1$ pour $x=0$ ou pour $x=4$
    Cela confirme les calculs effectués.
  2. Résoudre graphiquement $f(x)= -3$.
    on cherche les abscisses des points de la courbe ayant une ordonnée égale à $-3$.
    On veut déterminer les abscisses (on cherche $x$) des points de la courbe ayant une ordonnée égale à $-3$. (droite tracée en bleu sur le graphique).

    Les solutions de l'équation $f(x)= -3$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $y=-3$
    donc $f(x)= -3$ pour $x=2$.

  3. Retrouver le résultat précédent par le calcul.
    Il faut tout passer dans le membre de gauche puis factoriser.
    $f(x)=-3 \Longleftrightarrow x^2-4x+1=-3$
    $\phantom{f(x)=-3} \Longleftrightarrow x^2-4x+4=0$
    $\phantom{f(x)=-3} \Longleftrightarrow x^2-4x+4=0$
    $\phantom{f(x)=-3} \Longleftrightarrow (x-2)^2=0$ (deuxième identité remarquable)
    $\phantom{f(x)=-3} \Longleftrightarrow x-2=0$
    $\phantom{f(x)=-3} \Longleftrightarrow x=2$

  4. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation $f(x)=3$ et en donner un encadrement à l'unité.
    Les solutions sont les abscisses des point de la courbe dont l'ordonnée est égale à 3.
    On veut déterminer le nombre de points de la courbe ayant une ordonnée égale à $3$. (droite tracée en bleu sur le graphique).

    La droite d'équation $y=3$ coupe la courbe en deux points dont les abscisses sont comprises entre $-1$ et 0 pour l'une et 4 et 5 pour l'autre.


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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Résolution graphique d'équations et d'inéquations

- résoudre une équation de la forme f(x)=k avec la courbe de la fonction
- résoudre une inéquation avec la courbe de la fonction


infos: | 10-15mn |

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