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La fonction $f$ est définie sur $[-1;6]$ par $f(x)=x^2-4x+1$ et on donne ci-dessous sa représentation graphique.
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- Résoudre l'équation $f(x)=1$
Il faut résoudre l'équation $x^2-4x+1=1$ en "passant" le secomd membre à droite et en factorisant.$f(x)=1 \Longleftrightarrow x^2-4x+1=1$
$\phantom{f(x)=1} \Longleftrightarrow x^2-4x=0$
$\phantom{f(x)=1} \Longleftrightarrow x(x-4)=0$
$\phantom{f(x)=1} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x-4=0$
$\phantom{f(x)=1} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=4$
Graphiquement, il faut vérifier que les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $y=1$ (droite en bleu sur le graphique)
Graphiquement, les solutions de l'équation $f(x)=1$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $y=1$
donc $f(x)=1$ pour $x=0$ ou pour $x=4$
Cela confirme les calculs effectués. - Résoudre graphiquement $f(x)= -3$.
on cherche les abscisses des points de la courbe ayant une ordonnée égale à $-3$.On veut déterminer les abscisses (on cherche $x$) des points de la courbe ayant une ordonnée égale à $-3$. (droite tracée en bleu sur le graphique).
Les solutions de l'équation $f(x)= -3$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $y=-3$
donc $f(x)= -3$ pour $x=2$.
- Retrouver le résultat précédent par le calcul.
Il faut tout passer dans le membre de gauche puis factoriser.$f(x)=-3 \Longleftrightarrow x^2-4x+1=-3$
$\phantom{f(x)=-3} \Longleftrightarrow x^2-4x+4=0$
$\phantom{f(x)=-3} \Longleftrightarrow x^2-4x+4=0$
$\phantom{f(x)=-3} \Longleftrightarrow (x-2)^2=0$ (deuxième identité remarquable)
$\phantom{f(x)=-3} \Longleftrightarrow x-2=0$
$\phantom{f(x)=-3} \Longleftrightarrow x=2$
- Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation $f(x)=3$ et en donner un encadrement à l'unité.
Les solutions sont les abscisses des point de la courbe dont l'ordonnée est égale à 3.On veut déterminer le nombre de points de la courbe ayant une ordonnée égale à $3$. (droite tracée en bleu sur le graphique).
La droite d'équation $y=3$ coupe la courbe en deux points dont les abscisses sont comprises entre $-1$ et 0 pour l'une et 4 et 5 pour l'autre.
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Résolution graphique d'équations et d'inéquations
- résoudre une équation de la forme f(x)=k avec la courbe de la fonction
- résoudre une inéquation avec la courbe de la fonction
infos: | 10-15mn |
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