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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x-1-e^{x}$.
On note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
  1. Calculer la dérivée de $f$ et dresser son tableau de variation.

    Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$


    La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$

    La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$

    Égalité et inégalités avec exponentielle


    Pour tous réels $a$ et $b$, on a:
    $e^a=e^b\Longleftrightarrow a=b$

    $e^a < e^b\Longleftrightarrow a < b$
    $f'(x)=1-0-e^x=1-e^x$

    $1-e^x >0 \Longleftrightarrow 1 < e^x \Longleftrightarrow e^0 < e^x \Longleftrightarrow 0 < x$
    donc quand $x >0$ on a $f'(x) <0$

    $f(0)=0-1-e^0=-1-1=-2$ (rappel $e^0=1$)
  2. On donne ci-dessous la représentations graphique $C_h$ et $C_g$ de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=e^x$.

    Dans le même repère, tracer la représentation graphique de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x-1$.
    En utilisant le graphique, comparer $h(x)$ et $g(x)$.
    $g$ est une fonction affine
    $g$ est une fonction affine donc $C_g$ est une droite
    $g(0)=-1$ et $g(2)=2-1=1$

    Graphiquement, on a $C_h$ au-dessus de $C_g$
  3. Vérifier la conjecture faite à la question 2.
    Pour comparer $h(x)$ et $g(x)$, on peut pétudier le signe de $g(x)-h(x)$
    $g(x)-h(x)=x-1-e^x=f(x)$
    D'après le tableau de variation de $f$ (question 1), le maximum de $f$ est $-2$ atteint en $x=0$
    donc $f(x)\leq -2 <0$
    donc $g(x)-h(x)<0$ soit $g(x) < h(x)$

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