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On admet qu'il existe une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.
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- On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ définie par $h(x)=f(x)\times f(-x)$.
Montrer que $h$ est une fonction constante égale à 1 et en déduire que $f(x)\neq 0$.Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=f(x)$ et $v(x)=f(-x)$ et il faut calculer $h'(x)$.On pose $u(x)=f(x)$ et $v(x)=f(-x)$
et on a $u'(x)=f'(x)=f(x)$ et $v'(x)=f'(-x)=f(-x)$
$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$~~~~~~=f(x)\times f(-x)+f(x)\times f(-x)$
$~~~~~~=0$
donc $h'(x)=0$ et donc $h(x)=Constante=h(0)$
$h(0)=f(0)\times f(-0)=1\times 1=1$
donc $f(x)f(-x)=1$
- On suppose qu'il existe une autre fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ distincte de $f$ vérifiant $g'=g$ et $g(0)=1$
On pose $i(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}$ (on a $f(x)\neq 0$ donc $i$ est définie pour tout réel $x$.
Calculer $i'(x)$ et en déduire que $i'$ est une fonction constante égale à $1$.
En déduire que $f(x)=g(x)$.Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=g(x)$ et $v(x)=f(x)$On pose $u(x)=g(x)$ et $v(x)=f(x)$
et $u'(x)=g'(x)=g(x)$ et $v'(x)=f'(x)=f(x)$
$i'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$~~~~~~~~~~=\dfrac{g(x)f(x)-g(x)f(x)}{(f(x))^2}$
$~~~~~~~~~~=0$
donc $i'(x)=0$ et donc $i$ est une fonction constante.
$i(0)=\dfrac{g(1)}{f(1)}=\dfrac{1}{1}=1$
donc $i(x)=1$ soit $\dfrac{g(x)}{f(x)}=1$
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