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Dans chaque cas donner l'ensemble de définition $D$ de $f$ et l'ensemble $D'$ sur lequel $f$ est dérivable puis calculer $f'(x)$.
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- $f(x)=(5x+3)^2$
Dérivée de $f(ax+b)$
$u$ est une fonction définie et dérivable sur $D$ alors pour tout réel $x$ tel que $ax+b\in D$, $u(ax+b)$ est dérivable
et $\left(u(ax+b)\right)'=au'(ax+b)$.
Par exemple si $f(x)=(2x-1)^3$, on a $u(x)=x^3$ et $u'(x)=3x^2$ avec $f(x)=u(2x-1)$
alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=2 u'(2x-1)=2\times 3\times (2x-1)^2=6\times (2x-1)^2$On a $u(x)=x^2$On pose $u(x)=x^2$ et on a $f(x)=(5x+3)^2=u(5x+3)$
$u$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ donc $D=D'=\mathbb{R}$.
$u'(x)=2x$
donc $f'(x)=5u'(5x+3)=5\times 2\times (5x+3)=10(5x+3)$
En développant $f(x)$ on a $f(x)=25x^2+2\times 5x\times 3+9=25x^2+30x+9$
donc $f'(x)=25\times 2x+30\times 1+0=50x+30=10(5x+3)$ - $f(x)=\sqrt{3x-9}$
Dérivées usuelles
Dérivée de $f(ax+b)$
$u$ est une fonction définie et dérivable sur $D$ alors pour tout réel $x$ tel que $ax+b\in D$, $u(ax+b)$ est dérivable
et $\left(u(ax+b)\right)'=au'(ax+b)$.
Par exemple si $f(x)=(2x-1)^3$, on a $u(x)=x^3$ et $u'(x)=3x^2$ avec $f(x)=u(2x-1)$
alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=2 u'(2x-1)=2\times 3\times (2x-1)^2=6\times (2x-1)^2$On a $u(x)=\sqrt{x}$ et il faut que $3x-9$ soit positif
la fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$ et dérivable sur $]0;+\infty[$On pose $u(x)=\sqrt{x}$ et on a $f(x)=\sqrt{3x-9}=u(3x-9)$
Il faut $3x-9\geq 0$ soit $x\geq 3$ donc $D=[3;+\infty[$
La fonction racine carrée est dérivable sur $]0;+\infty[$
donc il faut $3x-9>0$ soit $x>3$
donc $D'=]3;+\infty[$
$u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
donc $f'(x)=3u'(3x-9)=3\times \dfrac{1}{2\sqrt{3x-9}}=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-9}}$
- $f(x)=\dfrac{1}{(2x-8)^2}$
Dérivées usuelles
On a $u(x)=\dfrac{1}{x^2}$ et il faut que $3x-9$ soit positif
la fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$ et dérivable sur $]0;+\infty[$On pose $u(x)=\dfrac{1}{x^2}$ et on a $f(x)=\dfrac{1}{(2x-8)^2}=u(2x-8)$
Il faut $2x-8\neq 0$ soit $x\neq 4$ donc $D=D'=\mathbb{R}\setminus \lbrace 4\rbrace$
$u'(x)=\dfrac{-2}{x^3}$
donc $f'(x)=2u'(2x-8)=2\times \dfrac{-2}{(2x-8)^3}=\dfrac{-4}{(2x-8)^3}$
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