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On considère la suite $(u_n)$ géométrique de raison $q=2$et premier terme $u_0=-3$.
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- Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$ - Etudier les variations de la suite $(u_n)$.
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.Utiliser la forme de récurrence puis la forme explicite pour déterminer le signe de $u_{n+1}-u_n$$u_{n+1}-u_n=2u_n-u_n=u_n=-3\times 2^n$
$2^n>0$ donc $-3\times 2^n<0$
donc $u_{n+1}-u_n<0$ soit $u_{n+1}< u_n$
- Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Limite de $q^n$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$ pour $-1< q < 1$
Si $q> 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$La raison $q=2$ est supérieure à $1$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 2^n=+\infty$
donc par produit $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -3\times 2^n=-\infty$
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