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Un artisan fabrique des objets mais il ne peut pas en produire plus que 70 pas semaine.
Chaque objet est vendu 80 euros et le coût de production, en euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur $[0;70]$ par $C(x)=0,01x^3-1,05x^2+91x+225$
  1. Quel est le montant des coûts fixes?
    Les coûts fixes sont ceux que l'on ne peut éviter (loyer, entertien du matériel...) même quand on ne produit aucun objet
    Il faut ici calculer $C(0)=225$
  2. Combien coûte la production de 25 objets?
    Il fautcalculer $C(25)$
    $C(x)=0,01\times 25 ^3-1,05\times 25^2+91\times 25+225=2000$
  3. Déterminer le sens de variation de la fonction $C$.

    Dérivées usuelles


    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    Il faut étudier le signe de $C'(x)$ qui est un polynôme du second degré
    $C'(x)=0,01\times 3x^2-1,05\times 2x+91=0,03x^2-2,1x+91$
    $\Delta=b^2-4ac=(-2,1)^2-4\times 0,03\times 91=-6,51$
    donc $C'(x)$ est de signe constant et du même signe que $a=0,03$ coefficient de $x^2$
    donc $C'(x)>0$ sur $[0;70]$
  4. On note $B(x)$ le bénéfice, en euros, qu'il retire de la production chaque semaine pour la production et la vente de $x$ objets.
    1. Calculer $B(25)$
      il faut calculer la recette obtenue pour la vente de 25 objets à 80 euros l'unité
      $R(25)=25\times 80=2000$
      $B(25)=R(25)-C(25)=2000-2000=0$
    2. Exprimer $B(x)$ en fonction de $x$
      B(x)=R(x)-C(x)$ où $R(x)$ est la recette pour la vente de $x$ objets à $80$ euros l'unité
      La vente de $x$ objets à $80$ euros rapporte $80x$ euros.
      $B(x)=80x-C(x)$
      $~~~~=80x-(0,01x^3-1,05x^2+91x+225)$
      $~~~~=80x-0,01x^3+1,05x^2-91x-225$
      $~~~~=-0,01x^3+1,05x^2-11x-225$

    3. Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur $[0;70]$
      il faut calculer la dérivée de $B$ et étudier son signe
      $B'(x)=-0,01\times 3x^2+1,05\times 2x-11-0$
      $~~~~=-0,03x^2+2,1x-11$
      $\Delta=b^2-4ac=(2,1 )^2-4 \times (-0,03) \times (-11)= 3,09$
      $\Delta >0$ donc il y a deux racines
      $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2,1-\sqrt{3,09} }{ 2\times (-0,03)}=\dfrac{2,1+\sqrt{3,09} }{ 0,06 }\approx 64,3$
      $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2,1+\sqrt{3,09} }{ 2\times (-0,03)}=\dfrac{2,1-\sqrt{3,09} }{ 0,06 }\approx 5,7$

      avec $B(x_2)\approx B(5,7)\approx -255,4$ et $B(x_1)\approx B(64,3)\approx 750,4$
    4. En déduire quel nombre d'objets il doit fabriquer pour avoir un bénéfice maximum.
      D'après le tableau de variation le maxium de $B$ est $B(x_1)$ atteint en $x_1\approx 64,3$

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