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On veut résoudre l'équation $\dfrac{3x-1}{x+2}+\dfrac{x-3}{2x-4}=0$
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- Déterminer l'ensemble de résolution.
- Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $D$on a:
$\dfrac{3x-1}{x+2}+\dfrac{x-3}{2x-4}=\dfrac{7x^2-15x-2}{(x+2)(2x-4)}$Réduire ensuite au même dénominateur (multiplier le premier terme par $2x-4$ et le second par $x+2$)Pour tut réel $x\in D$, on a :
$\dfrac{3x-1}{x+2}+\dfrac{x-3}{2x-4}$
$= \dfrac{(3x-1)(2x-4)}{(x+2)(2x-4)}+\dfrac{(x+2)(x-3)}{(x+2)(2x-4)}$ (On réduit au même dénominateur)
$= \dfrac{(3x-1)(2x-4)+(x+2)(x-3)}{(x+2)(2x-4)}$
$= \dfrac{6x^2-12x-2x+4+x^2+2x-3x-6}{(x+2)(2x-4)}$
$= \dfrac{7x^2-15x-2}{(x+2)(2x-4)}$
- Résoudre alors l'équation
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.On a $\dfrac{a}{b}=0 $ si et seulement si $a=0$ ($b\neq 0$)$\dfrac{3x-1}{x+2}+\dfrac{x-3}{2x-4}=0$
$\Longleftrightarrow \dfrac{7x^2-15x-2}{(x+2)(2x-4)}=0$
$\Longleftrightarrow 7x^2-15x-2=0$ ($\dfrac{a}{b}=0 $ si et seulement si $a=0$ avec $b\neq 0$)
$\Delta=b^2-4ac=(-15)^2-4\times 7\times (-2)=225+56=281$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines: $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{15-\sqrt{281}}{14}$
et
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{15+\sqrt{281}}{14}$
Les deux solutions obtenues appartiennent à l'ensemble de définition.
L'équation admet deux solutions $x_1=\dfrac{15-\sqrt{281}}{14}$ et $x_2=\dfrac{15+\sqrt{281}}{14}$
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