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Un joueur de basket fait un tir pour marquer un panier.
La hauteur du ballon à chaque instant en fonction du temps $t$ en secondes est donnée par la fonction $h$ définie par $h(t)=-1,5t^2+3t+2,765$.
Le panier de basket est à 3,05 mètres du sol.
  1. En utilisant un logiciel de géométrie ou bien la calculatrice, conjecturer:
    - combien de temps après le tir le ballon atteindra le panier?
    - si le tir est manqué, au bout de combien de temps le ballon retombera t-il au sol?
    On peut saisir l'expression de $h$ dans GEOGEBRA (barre de saisie) et tracer la droite d'équation $y=3,05$
    On peut saisir l'expression $-1,5x^2+3x+2,765$ dans la barre de saisie et tracer la droite d'équation $y=3,05$.
    En marquant les points d'intersection de la courbe avec cette droite puis avec l'axe des abscisses, on peut répondre aux deux questions.

    Sur le graphique, on peut lire que le point $A$ a pour abscisse 1,9 environ et le point $B$ 2,7 environ.
  2. A quelle hauteur, arrondie au cm près par défaut, est déclenché le tir?
    Le tir est déclenché à l'instant $t=0$...
    Le tir est déclenché à l'instant $t=0$ donc il faut calculer $h(0)$.
    $h(0)=-1,5\times 0^2+3\times 0+2,765=2,765$
  3. Quelle sera la hauteur maximale atteinte par le ballon?

    Forme canonique


    Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
    Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$
    Il faut déterminer les coordonnées du sommet de la parabole.
    Le sommet de la parabole représentant la fonction $h$ a pour abscisse $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-3}{2\times (-1,5)}=1$.
    $h(1)=-1,5\times 1^2+3\times 1+2,765=4,265$
    Le coefficient $a$ de $x^2$ est négatif donc $h$ est croissante sur $[0;1]$ puis décroissante sur $[1;+\infty[$.
  4. Sachant que la trajectoire du ballon dure plus de 1 seconde, combien de temps après le déclenchement du tir le ballon atteindra-t-il le panier?

    Racines


    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.
    Il faut résoudre l'équation $h(t)=3,05$
    Le panier est à 3,05 mètres de hauteur donc il faut $h(t)=3,05$.
    $h(t)=3,05 \Longleftrightarrow -1,5t^2+3t+2,765=3,05$
    $\phantom{h(t)=3,05} \Longleftrightarrow -1,5t^2+3t+2,765-3,05=0$
    $\phantom{h(t)=3,05} \Longleftrightarrow -1,5t^2+3t-0,285=0$
    $\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times (-1,5)\times (-0,285)=7,29$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines
    $t_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3 + \sqrt{7,29} }{ 2\times (-1,5) }=0,1$
    et $t_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3 -\sqrt{7,29} }{2\times (-1,5) }=1,9$
    La trajectoire du ballon avant d'atteindre le panier dure plus de 1 seconde donc la seule solution est $t_2$.
  5. Si le tir est manqué, au bout de combien de temps, au dixième de seconde près, le ballon retombera au sol?
    Il faut que la hauteur soit nulle soit $h(t)=0$
    Le ballon est au sol si $h(t)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times (-1,5)\times 2,765=25,59$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines
    $t_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3 +\sqrt{25,59} }{2\times (-1,5) }\approx -0,69$
    et $t_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3 -\sqrt{25,59} }{2\times (-1,5) }\approx 2,69$
    $t \geq 0$ donc la seule solution est $t_2\approx 2,7$ en arrondissant aux dixièmes.

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