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Un joueur de basket fait un tir pour marquer un panier.
La hauteur du ballon à chaque instant en fonction du temps $t$ en secondes est donnée par la fonction $h$ définie par $h(t)=-1,5t^2+3t+2,765$.
Le panier de basket est à 3,05 mètres du sol.
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La hauteur du ballon à chaque instant en fonction du temps $t$ en secondes est donnée par la fonction $h$ définie par $h(t)=-1,5t^2+3t+2,765$.
Le panier de basket est à 3,05 mètres du sol.
- En utilisant un logiciel de géométrie ou bien la calculatrice, conjecturer:
- combien de temps après le tir le ballon atteindra le panier?
- si le tir est manqué, au bout de combien de temps le ballon retombera t-il au sol?On peut saisir l'expression de $h$ dans GEOGEBRA (barre de saisie) et tracer la droite d'équation $y=3,05$On peut saisir l'expression $-1,5x^2+3x+2,765$ dans la barre de saisie et tracer la droite d'équation $y=3,05$.
En marquant les points d'intersection de la courbe avec cette droite puis avec l'axe des abscisses, on peut répondre aux deux questions.
Sur le graphique, on peut lire que le point $A$ a pour abscisse 1,9 environ et le point $B$ 2,7 environ.
- A quelle hauteur, arrondie au cm près par défaut, est déclenché le tir?
- Quelle sera la hauteur maximale atteinte par le ballon?
Forme canonique
Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$Il faut déterminer les coordonnées du sommet de la parabole.Le sommet de la parabole représentant la fonction $h$ a pour abscisse $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-3}{2\times (-1,5)}=1$.
$h(1)=-1,5\times 1^2+3\times 1+2,765=4,265$
Le coefficient $a$ de $x^2$ est négatif donc $h$ est croissante sur $[0;1]$ puis décroissante sur $[1;+\infty[$.
- Sachant que la trajectoire du ballon dure plus de 1 seconde, combien de temps après le déclenchement du tir le ballon atteindra-t-il le panier?
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Il faut résoudre l'équation $h(t)=3,05$Le panier est à 3,05 mètres de hauteur donc il faut $h(t)=3,05$.
$h(t)=3,05 \Longleftrightarrow -1,5t^2+3t+2,765=3,05$
$\phantom{h(t)=3,05} \Longleftrightarrow -1,5t^2+3t+2,765-3,05=0$
$\phantom{h(t)=3,05} \Longleftrightarrow -1,5t^2+3t-0,285=0$
$\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times (-1,5)\times (-0,285)=7,29$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$t_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3 + \sqrt{7,29} }{ 2\times (-1,5) }=0,1$
et $t_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3 -\sqrt{7,29} }{2\times (-1,5) }=1,9$
La trajectoire du ballon avant d'atteindre le panier dure plus de 1 seconde donc la seule solution est $t_2$.
- Si le tir est manqué, au bout de combien de temps, au dixième de seconde près, le ballon retombera au sol?
Il faut que la hauteur soit nulle soit $h(t)=0$Le ballon est au sol si $h(t)=0$.
$\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times (-1,5)\times 2,765=25,59$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$t_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3 +\sqrt{25,59} }{2\times (-1,5) }\approx -0,69$
et $t_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3 -\sqrt{25,59} }{2\times (-1,5) }\approx 2,69$
$t \geq 0$ donc la seule solution est $t_2\approx 2,7$ en arrondissant aux dixièmes.
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