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Les suites $(u_{n})$ et $(w_{n})$ sont définies pour tout $n\in \mathbb{N}$ par les relations:
$u_{n}=2n^2-3$ et $w_{n+1}=u_{n+1}-u_{n}$
  1. La suite $(u_n)$ est-elle définie par récurrence ou sous forme explicite?

    Forme explicite


    $(u_n)$ est définie sous forme explicite si $u_n=f(n)$ avec $f$ fonction définie pour $x\geq 0$.
    $f$ est la fonction associée à la suite $(u_n)$.

    Relation de récurrence


    La suite $(u_n)$ est définie par récurrence si $u_{n+1}$ est exprimé en fonction des termes précédents.
    $u_n=f(n)$ avec $f(x)=2x^2-3$ définie sur $[0;+\infty[$
  2. Exprimer $u_{n+1}$ puis $u_{n+2}$ en fonction de $n$

    Identités remarquables


    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
    Remplacer $n$ par $n+1$ dans $u_{n}=2n^2-3$ puis $n$ par $n+2$
    Si on remplace $n$ par $n+1$ dans la relation $u_{n}=2n^2-3$, on a:
    $u_{n+1}=2(n+1)^2-3=2(n^2+2n+1)-3=2n^2+4n+2-3=2n^2+4n-1$

    Si on remplace $n$ par $n+2$ dans la relation $u_{n}=2n^2-3$, on a:
    $u_{n+2}=2(n+2)^2-3=2(n^2+4n+4)-3=2n^2+8n+8-3=2n^2+8n+5$
  3. Exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $n$
    Il faut remplacer $u_{n+1}$ et $u_n$ par leurs expressions en fonction de $n$
    $w_{n+1}=u_{n+1}-u_{n}$
    et on a $u_{n+1}=2n^2+4n-1$ et $u_{n}=2n^2-3$
    $w_{n+1}=u_{n+1}-u_{n}=(2n^2+4n-1)-(2n^2-3)=2n^2+4n-1-2n^2+3=4n+2$

    Attention aux parenthèses car il y a le signe $-$ devant $u_{n}$
    Il faut écrire $(2n^2+4n-1)-(2n^2-3)$ et non pas $2n^2+4n-1-2n^2-3$

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