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On étudie l'évolution de la population rurale et de la plus grande ville dans une région donnée.
Au dernier recensement, la population rurale comptait 584000 habitants et il y avait 250000 habitants dans la plus grande ville de la région.
On a constaté que la population rurale diminuait de 15000 habitants chaque année et que celle de la plus grande ville augmentait de 8% chaque année.
On note $r_n$ le nombre d'habitants, en milliers, de la zone rurale et $v_n$ le nombre d'habitants, en milliers, de la plus grande ville pour l'année $2010+n$.
  1. Déterminer $r_0$ et $v_0$.
    $r_0$ et $v_0$ correspondent au nombre d'habitants en $2010+0=2010$
    le nombre d'habitants doit être donné en milliers
    En prenant $n=0$, $r_0$ et $v_0$ correspondent au nombre d'habitants en $2010+0=2010$.
    En 2010, la population rurale comptait 584000 habitants soit 584 milliers donc $r_0=584$
    et il y avait 250000 habitants soit 250 milliers dans la plus grande ville de la région donc $v_0=250$.
  2. Déterminer la nature de la suite $(r_n)$ et exprimer $r_n$ en fonction de $n$.

    Suite arithmétique


    Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
    $r$ est la raison de la suite.
    On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$

    Forme explicite d'une suite arithmétique


    Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$

    Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$
    Chaque année, $r_n$ diminue de la même quantité
    On peut vérifier que $r_{n+1}=r_n+C$ où $C$ est la raison de la suite
    le nombre d'habitants est donné en milliers
    Chaque année, le nombre d'habitant en zone rurale diminue de 15000 soit 15 milliers.
    $r_n$ étant la population de l'année $2010+n$, l'année suivante il y aura $r_n-15$ milliers d'habitants en zone rurale
    donc $r_{n+1}=r_n-15$

    On a aussi $r_0=584$
    donc $r_n=r_0+n\times r=584-15n$
  3. Déterminer la nature de la suite $(v_n)$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

    Suite géométrique


    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

    Somme des termes d'une suite géométrique


    La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
    $S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
    Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$
    Chaque année, $v_n$ augmente de 8% et augmenter une valeur de 8 revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{8}{100}$
    On peut vérifier que $v_{n+1}=qv_n$ où $q$ est la raison de la suite
    le nombre d'habitants est donné en milliers
    Chaque année, le nombre d'habitant augmente de 8%.
    Augmenter une valeur de 8% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{8}{100}=1,08$
    $v_n$ étant la population de l'année $2010+n$, l'année suivante il y aura $1,08v_n$ milliers d'habitants dans la plus grande ville.
    donc $v_{n+1}=1,08r_n$

    On a aussi $v_0=250$
    donc $v_n=v_0 \times q^n=250\times 1,08^n$
  4. On veut déterminer à partir de quelle année la population de la grande ville sera supérieure à celle de la zone rurale.
    Pour cela, on utilise un algorithme permettant de déterminer le plus petit indice $n$ possible correspondant à cette situation.
    Compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il affiche cet indice.
    A chaque passage dans la boucle TANT QUE, on veut calculer le terme suivant pour chacune des deux suites.
    La boucle doit permettre de calculer le terme suivant pour chacune des deux suites jusqu'à ce que la population $r_n$ soit inférieure à la population $v_n$.
  5. Avec la calculatrice, afficher les termes de chacune des deux suites jusqu'à l'indice 50 et donner la valeur de $n$ que va afficher l'algorithme ci-dessus.
    Donner alors l'année pour laquelle la population de la ville va dépasser celle de la zone rurale.
    CASIO: avec le menu RECUR de la calculatrice et type $a_{n}$ saisir l'expression de chaque suite(forme explicite) puis dans SET paramétrer le début des indices et la fin
    TI Premium: MODE puis surligner SUITES (4ième ligne) puis $ f(x)$.
    Saisir $n_{min}=0$, $U(n)$ et $V_n$ puis TABLE pour afficher les résultats
    NumWorks: MENU SUITES puis Ajouter et sélectionner $u_{n}$
    puis saisir $u_n$ et recommencer avec$v_n$

    A partir de $n=9$ on a $v_n > u_n$
    Cela signifie que le nombre d'habitants de la grande ville va dépasser celui de la zone rurale en $2010+9=2019$.

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Suites arithmétiques et géométriques

- justifier qu'une suite est arithmétique
- calculer la raison d'une suite arithmétique
- somme des termes d'une suite arithmétique
- justifier qu'une suite est géométrique
- calculer la raison d'une suite géométrique
- somme des termes d'une suite géométrique


infos: | 15mn |

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