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Partie A: Étude d'un exemple: $S=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10$
Partie B: Cas général $S=0+1+2+3++...+n-1+n$
En reprenant la même méthode prouver la conjecture émise précédemment.
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- Écrire $S$ avec les entiers dans l'ordre décroissant.
puis calculer $2S$$S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0$
En ajoutant les deux lignes ci-dessous, on a:
$S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0$
$S=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10$ $S+S=10+0+9+1+8+2+7+3+6+4+5+5+4+6+3+7+2+8+1+9+0+10$
soit $2S=10+10+10+10+10+10+10+10+10+10+10$ (on a $10$ onze fois
- En déduire $S$.
Conjecturer alors l'expression de $S=0+1+2+3+...+n-1+n$ en fonction de $n$$2S=11\times 10$
On a donc $S=0+1+2+3+...+n-1+n=\dfrac{(n+1)n}{2}$ (de $0$ à $n$, on a $n+1$ termes)
Partie B: Cas général $S=0+1+2+3++...+n-1+n$
En reprenant la même méthode prouver la conjecture émise précédemment.
Si on note $S=0+1+2+3+4+$........$+(n-2)+(n-1)+n$, on a :\\
$S=0+~~~~1~~+~~~~2~~~~+3+4+$........$+(n-1)+n$
$S=n+(n-1)+(n-2)$......................$1+0$
En ajoutant membre à membre ces deux lignes, on a:
$2S=(n+0)+(1+n-1)+(2+n-2)+$.......$+(n-1+1)+(n+0)$
donc $2S=\underbrace{n+n+n+........+n+n}$
De $0$ à $n$ on a $n+1$ termes (de $1$ à $n$, il y a $n$ termes plus le terme $0$)
donc $2S=\underbrace{n+n+n+........+n+n}$
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$n+1$ fois le terme $n$
donc $2S=n(n+1)$
donc $S=\dfrac{n(n+1)}{2}$
$S=0+~~~~1~~+~~~~2~~~~+3+4+$........$+(n-1)+n$
$S=n+(n-1)+(n-2)$......................$1+0$
En ajoutant membre à membre ces deux lignes, on a:
$2S=(n+0)+(1+n-1)+(2+n-2)+$.......$+(n-1+1)+(n+0)$
donc $2S=\underbrace{n+n+n+........+n+n}$
De $0$ à $n$ on a $n+1$ termes (de $1$ à $n$, il y a $n$ termes plus le terme $0$)
donc $2S=\underbrace{n+n+n+........+n+n}$
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$n+1$ fois le terme $n$
donc $2S=n(n+1)$
donc $S=\dfrac{n(n+1)}{2}$
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