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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+1$.
  1. Calculer le taux d'accroissement de $f$ entre $a=1$ et $b=1+h$ avec $h$ réel non nul.

    Taux d'accroissement d'une fonction


    Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ et $b$ deux réels distincts appartenant à $D_f$.
    Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est défini par $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
    Si on pose $b=a+h$, $h$ réel ( $a+h\in D_f$ et $h\neq 0$ puisque $b\neq a$), on a alors $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
    Calculer $T_{h}=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ (taux d'accroissement de $f$ entre 1 et $1+h$ pour tout réel $h\neq 0$
    Calcul du taux d'accroissement de $f$ entre 1 et $1+h$ pour tout réel $h\neq 0$:
    $f(1)=1^2+1=2$
    $f(1+h)=(1+h)^2+1=1+2h+h^2+1=h^2+2h+2$
    $T_{h}=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$
    $\phantom{T_{h}}=\dfrac{h^2+2h+2-2}{1+h-1}$
    $\phantom{T_{h}}=\dfrac{h^2+2h}{h}$
    $\phantom{T_{h}}=\dfrac{h(h+2)}{h}$
    $\phantom{T_{h}}=h+2$
  2. En déduire que $f$ est dérivable en $a=1$ et donner la valeur de $f'(1)$.

    Nombre dérivé


    Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ appartenant à $D_f$.
    S'il existe un réel $k$ tel que le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ de $f$ entre $a$ et $a+h$ se " rapproche" de $k$ lorsque $h$ se rapproche de 0 alors $f$ est dérivable en $x=a$.
    $k$ est le nombre dérivé de $f$ en $x=a$ et se note $f'(a)$}$=k$.
    On note alors $f'(a)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (se lit limite de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0.)
    Chercher la limite de $T_h$ quand $h \longrightarrow 0$ (vers quelle valeur se rapproche $T_h$ quand $h$ se rapproche de 0)
    Quand $h \longrightarrow 0$ on a $T_{h} \longrightarrow 2$
    Avec la notation des limites:
    $\displaystyle \lim_{ h \rightarrow 0 }\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=2$
    se lit quand $h$ "se rapproche de plus en plus" de 0, $T_h$ "se rapproche de plus en plus" de 2

    Graphiquement, $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
    Avec la calculatrice, dans SET UP, mettre DERIVATIVE sur ON.
    Contrôle avec la calculatrice CASIO
    Utiliser le menu TABLE, saisir la fonction $f$ dans Y1 puis afficher le tableau de valeurs de $f$ et de $f'$.\textit{(voir aussi fiche méthode CALCULATRICE: tableau de valeurs de la dérivée)}

    On obtient effectivement le résultat $f'(1)=2$
  3. Montrer que $f$ est dérivable en $x=2$ et déterminer $f'(2)$.
    Calculer $T_{h}=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$ (taux d'accroissement de $f$ entre 2 et $2+h$ pour tout réel $h\neq 0$
    Vérifier que la limite de de $T_{h}$ existe quand $h\longrightarrow 0$ et conclure
    Calcul du taux d'accroissement de $f$ entre 2 et $2+h$ pour tout réel $h\neq 0$:
    $f(2)=2^2+1=5$
    $f(2+h)=(2+h)^2+1=4+4h+h^2+h^2+1=h^2+4h+5$

    $T_{h}=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$
    $\phantom{T_{h}}=\dfrac{h^2+4h+5-5}{2+h-2}$
    $\phantom{T_{h}}=\dfrac{h^2+4h}{h}$
    $\phantom{T_{h}}=\dfrac{h(h+4)}{h}$
    $\phantom{T_{h}}=h+4$
    Quand $h \longrightarrow 0$ on a $T_{h} \longrightarrow 4$
    Avec la notation des limites:
    $\displaystyle \lim_{ h \rightarrow 0 }\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=4$
    se lit quand $h$ "se rapproche de plus en plus" de 0, $T_h$ "se rapproche de plus en plus" de 4

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