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La fonction $f$ est définie sur $[-1;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+1}$.
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- Montrer que le taux d'accroissement de $f$ entre$1$ et $1+h$ avec $h\neq 0$ est $T_h=\dfrac{1}{\sqrt{2+h}+\sqrt{2}}$
Taux d'accroissement d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ et $b$ deux réels distincts appartenant à $D_f$.
Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est défini par $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Si on pose $b=a+h$, $h$ réel ( $a+h\in D_f$ et $h\neq 0$ puisque $b\neq a$), on a alors $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{2+h}-\sqrt{2}$Calcul du taux d'accroissement de $f$ entre 1 et $1+h$ pour tout réel $h\neq 0$ tel que $1+h \in [-1;+\infty[$:
$T_{h}=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{1+h-1}$
$T_{h}=\dfrac{\sqrt{1+h+1}-\sqrt{1+1}}{h}$
$T_{h}=\dfrac{\sqrt{2+h}-\sqrt{2}}{h}$
$T_{h}=\dfrac{(\sqrt{2+h}-\sqrt{2})(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})}{h(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})}$
On multiplie par l'expression conjuguée du numérateur $\sqrt{2+h}+\sqrt{2}$ pour faire apparaître la troisième identité remarquable.
$T_{h}=\dfrac{\sqrt{2+h}^{2}-\sqrt{2}^{2}}{h(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})}$
$T_{h}=\dfrac{2+h-2}{h(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})}$
$T_{h}=\dfrac{h}{h(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})}$
- En déduire que $f$ est dérivable en $x_0=1$ et calculer $f'(1)$.
Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ appartenant à $D_f$.
S'il existe un réel $k$ tel que le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ de $f$ entre $a$ et $a+h$ se " rapproche" de $k$ lorsque $h$ se rapproche de 0 alors $f$ est dérivable en $x=a$.
$k$ est le nombre dérivé de $f$ en $x=a$ et se note $f'(a)$}$=k$.
On note alors $f'(a)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (se lit limite de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0.)
Vérifier que la limite de de $T_{h}$ existe quand $h\longrightarrow 0$ et conclureQuand $h \longrightarrow 0$ on a:
$\sqrt{2+h}+\sqrt{2}\longrightarrow \sqrt{2}+\sqrt{2}$
soit $\sqrt{2+h}+\sqrt{2}\longrightarrow 2\sqrt{2}$
donc $T_{h} \longrightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
Avec les notations des limites, on peut écrire:
$\displaystyle \lim_{ h \rightarrow 0 }\dfrac{1}{\sqrt{2+h}+\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
Penser à vérifier que le résultat obtenu est correct avec la calculatrice(voir aussi Fiche méthode: tableau de valeurs de la fonction dérivée)
La courbe représentative de la fonction $f$ admet une tangente de coefficient directeur $f'(1)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ au point de la
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