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Dans un repère orthonormé, on donne $A(1;1)$ et à tout réel $\alpha> 1$, on associe le point $M$ de l'axe des abscisses d'abscisse $\alpha$.
Le point $N$ est le point d'intersection de la droite $(AM)$ et de l'axe des ordonnées.
  1. Exprimer l'ordonnée de $N$ en fonction de $\alpha$.

    Vecteurs colinéaires


    Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k\neq 0$ tel que $\overrightarrow{w}=k\overrightarrow{u}$
    Remarque
    Deux vecteurs colinéaires ont donc la même direction
    On peut chercher l'équation réduite de la droite $(AM)$.
    On peut aussi utiliser les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AN}$ qui doivent être colinéaires
    $M$ appartient à l'axe des abscisses donc $y_M=0$ soit $M(\alpha;0)$.

    Méthode 1 : vecteurs colinéaires et points alignés

    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=\alpha-1\\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=0-1=-1 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{AM}(\alpha-1;-1)$

    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AN}}=x_N-x_A=0-1=-1\\ y_{\overrightarrow{AN}}=y_N-y_A=y_N-1 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{AN}(-1;y_N-1)$
    Les points $A$, $M$ et $N$ sont alignés donc $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AN}$ sont colinéaires.
    $\phantom{\Longleftrightarrow} x_{\overrightarrow{AM}}\times y_{\overrightarrow{AN}}-y_{\overrightarrow{AM}}x_{\overrightarrow{AN}}=0$
    $\Longleftrightarrow (\alpha-1)\times (y_N-1)-(-1)\times (-1)=0$
    $\Longleftrightarrow(\alpha-1)\times y_N-\alpha+1-1=0$
    $\Longleftrightarrow(\alpha-1)\times y_N=\alpha$
    $\Longleftrightarrow y_N=\dfrac{\alpha}{\alpha-1}$ (rappel $\alpha \neq 1$)

    Méthode 2: équation réduite de la droite $(AM)$
    $a=\dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=\dfrac{0-1}{\alpha -1 }=\dfrac{1}{1-\alpha}$
    L'équation réduite de $(AM)$ est de la forme $y=\dfrac{1}{1-\alpha}x+b$
    $A \in (AM)$ donc ses coordonnées vérifient l'équation réduite de $(AM)$.
    $1=\dfrac{1}{1-\alpha}\times 1+b \Longleftrightarrow b=1-\dfrac{1}{1-\alpha}$
    $\phantom{1=\dfrac{1}{1-\alpha}\times 1+b} \Longleftrightarrow b=\dfrac{1-\alpha}{1-\alpha}-\dfrac{1}{1-\alpha}$
    $\phantom{1=\dfrac{1}{1-\alpha}\times 1+b} \Longleftrightarrow b=\dfrac{1-\alpha-1}{1-\alpha}$
    $\phantom{1=\dfrac{1}{1-\alpha}\times 1+b} \Longleftrightarrow b=\dfrac{-\alpha}{1-\alpha}$
    $\phantom{1=\dfrac{1}{1-\alpha}\times 1+b} \Longleftrightarrow b=\dfrac{\alpha}{\alpha-1}$
  2. En déduire l'aire du triangle $OMN$ en fonction de $\alpha$.
    Le triangle $OMN$ est un triangle rectangle en $O$.
    $\mathcal{A}_{OMN}=\dfrac{OM\times ON}{2}$
    $\phantom{\mathcal{A}_{OMN}}=\dfrac{\alpha\times \dfrac{\alpha}{\alpha-1}}{2}$
    $\phantom{\mathcal{A}_{OMN}}= \dfrac{\alpha^2}{\alpha-1}\times \dfrac{1}{2}$
    $\phantom{\mathcal{A}_{OMN}}= \dfrac{\alpha^2}{2(\alpha-1)}$
  3. En utilisant une fonction, déterminer la position de $M$ pour que l'aire du triangle $OMN$ soit minimale.

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    Signe de la dérivée et variations d'une fonction


    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
    $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
    $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$
    On peut poser $f$ définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2}{2(x-1)}$
    On pose $f$ définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2}{2(x-1)}$.
    Il faut donc étudier les variations de $f$.
    On pose $u(x)=x^2$ et $v(x)=2(x-1)=2x-2$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $]1;+\infty[$ et $v(x)\neq 0$
    donc $f=\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $]1;+\infty[$.
    $u'(x)=2x$ et $v'(x)=2$
    $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{2x( 2x-2 )-x^2\times 2}{( 2x-2 )^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{4x^2-4x-2x^2}{( 2x-2 )^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{2x^2-4x}{( 2x-2 )^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{2x(x-2)}{( 2x-2 )^2}$
    Sur $]1;+\infty[$, on a $(2x-2)^2 > 0$, $2x > 0$ et donc $f'(x)$ est du signe de $x-2$.
    $x-2 > 0 \Longleftrightarrow x > 2$.
    On a donc :

    Le minimum de $f$ est 2 atteint en $x=2$

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