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Le plan est muni d'un repère.
La droite $(d)$ passe par le point $A(x-A;y_A)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}(u_1;u_2)$.
  1. Soit $M(x;y)$ un point de $(d)$, exprimer les coordonnées de $\overrightarrow{AM}$ en fonction des coordonnées de $M$ et $A$.

    Coordonnées d'un vecteur défini par deux points


    Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)
    $\begin{cases}x_M-x_A=x-x_A\\ y_M-y_A=y-y_A \end{cases}$
  2. Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$?
    En déduire que $M$ appartient à $(d)$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'égalité $ax+by+c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ à préciser.

    Vecteurs colinéaires


    Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k\neq 0$ tel que $\overrightarrow{w}=k\overrightarrow{u}$
    Remarque
    Deux vecteurs colinéaires ont donc la même direction

    Critère de colinéarité dans un repère


    Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$
    Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ ont la même direction
    $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$
    donc les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ ont la même direction
    donc ils sont colinéaires.
    $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ colinéaires
    $\Longleftrightarrow u_1\times (y-y_A)-u_2\times (x-x_A)=0$
    $\Longleftrightarrow u_1y-u_1y_A-u_2x+u_2x_A=0$
    $\Longleftrightarrow -u_2x+u_1y-u_1y_A+u_2x_A=0$
    donc $M\in (d)$ si et seulement si ses coordonnées vérifient $ax+by+c=0$ avec $a=-u_2$, $b=u_1$ et $c=-u_1y_A+u_2x_A$.
    donc si $(d)$ admet pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ le vecteur $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$ puisque $-a=u_2$, $b=u_1$

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