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Pour un jeu télévisé, le candidat doit faire tourner une roue composée de trois secteurs de couleur(voir figure ci-dessous).

S'il tombe sur le secteur rouge, le candidat perd.
Si le candidat tombe sur le secteur vert, il gagne 200 euros et s'il tombe sur le secteur bleu, il gagne 1000 euros.
On note $B$ l'événement "le candidat obtient le secteur bleu" et $R$ l'événement "le candidat" obtient le secteur vert".
  1. Déterminer $p(B)$ et $p(V)$.

    Probabilité avec une loi équirépartie


    Dans le cas d'une loi équirépartie, la probabilité d'un événement A est $p(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$
    Il faut déterminer le nombre de cas favorables pour obtenir l'événement $B$ puis l'événement $V$.
    Il y a un secteur bleu et trois secteurs verts sur les huit secteurs partageant le cercle
  2. On note $D$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur.
    Donner les valeurs possibles de $D$.
    $D$ correspond aux gains possibles du joueur.
  3. Etablir la loi de probabilité de $D$.

    Variable aléatoire et loi de probabilité


    Une variable aléatoire discrète est une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui a tout élément $x_i$ de $\Omega$ associe un nombre réel.
    Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire prenant les valeurs $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $, c'est déterminer la probabilité d'obtenir la valeur $X=x_i$ pour tout élément de $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $
    Déterminer d'abord les valeurs que peut prendre la variable $D$.
    Présenter les résultats dans un tableau.
    La variable aléatoire $D$ donne le gain du joueur donc $D$ peut prendre les valeurs 0, 200 et 1000.

    Penser à vérifier que la somme des probabilités est égale à 1
  4. Calculer alors l'espérance de la variable aléatoire $D$ et en donner la signification.

    Espérance-variance-écart type


    L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
    $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
    La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
    $V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$

    ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$

    L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
    $E(D)=0\times 0,5+200\times 0,375+1000\times 0,125=200$

    Cela signifie que pour un grand nombre de parties jouées, le joueur peut espérer gagner en moyenne 200 euros par partie.

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