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Une usine fabrique des moteurs électriques pour l'industrie spatiale. Ceux-ci doivent être très fiables et performants; pour cela ils passent des contrôles très sévères.
Chaque moteur est testé en fin de fabrication. Si le test est positif, le moteur est acheminé chez le client ;
si le test est négatif, le moteur retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si, cette fois, le test est positif, le moteur part chez le client mais, si le test est négatif, le moteur est définitivement écarté et détruit.
Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 85% des moteurs neufs sortis directement des chaines de fabrication mais que, parmi les moteurs révisés, seulement 65% d'entre eux passent le second test avec succès.
On note $P$ l'événement "Le premier test est positif" et $E$ l'événement "Le moteur est envoyé chez le client".
Sauf avis contraire, on donnera les valeurs décimales exactes des probabilités demandées.
Partie A
On choisit un moteur au hasard dans la chaine de fabrication.
  1. Compléter l' arbre de probabilité illustrant les différents cas qui peuvent se présenter pour ce moteur.

    Arbre pondéré


    Probabilités sur un arbre pondéré:
    Le test est positif pour 85% des moteurs neufs donc $P(P)=0,85$
    parmi les moteurs révisés, seulement 65% d'entre eux passent le second test avec succès donc $p_{\overline{P}}(E)=0,65$
    On a donc:
  2. Donner la probabilité pour que le premier test en fin de fabrication soit positif pour ce moteur et donc que le moteur soit envoyé chez le client.

    Probabilité de l'événement $A\cap B$


    Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
    $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$
    On veut calculer $p(P\cap E)$
    La probabilité pour que le premier test en fin de fabrication soit positif pour ce moteur et donc que le moteur soit envoyé chez le client se note $p(P\cap E)$
    $p(P\cap E)=p(P)\times p_P(E)=p(P)=0,85$
  3. Calculer la probabilité pour que ce moteur doive être révisé et soit ensuite acheminé chez le client.
    Cette probabilité se note $p(\overline{P}\cap E)$
    La probabilité pour que ce moteur doive être révisé et soit ensuite acheminé chez le client se note $p(\overline{P}\cap E)$.
    $p(\overline{P}\cap E)=p(\overline{P})\times p_{\overline{P}}(E)=0,15\times 0,65=0,0975$.
  4. Calculer la probabilité pour que ce moteur soit finalement écarté et détruit.
    Cette probabilité se note $p(\overline{P} \cap \overline{E})$
    La probabilité pour que ce moteur soit finalement écarté et détruit se note $p(\overline{P} \cap \overline{E})$.
    $p(\overline{P} \cap \overline{E})=p(\overline{P})\times p_{\overline{P}}(\overline{E})=0,15\times 0,35=0,0525$
  5. Calculer la probabilité pour que ce moteur soit envoyé chez le client.

    Probabilités totales


    Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
    Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
    et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
    $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$
    On veut calculer $p(E)$ avec la formule des probabilités totales
    La probabilité pour que ce moteur soit envoyé chez le client se note $p(E)$
    D'après la formule des probabilités totales, on a:
    $p(E)=p(P \cap E)+p(\overline{P} \cap E)=0,85+0,0975=0,9475$


    Pour utiliser la formule des probabilités totales, il faut que $P$ et $\overline{P}$ forment une partition de l'univers soit $P\cap \overline{P}=\oslash$ et $P\cup \overline{P}=\Omega$ mais cette rédaction n'est plus exigible en terminale ES.


Partie B
La fabrication d'un moteur revient à 1000 euros auxquels il faut rajouter 100 euros si le moteur est révisé. Un moteur est facturé au client la somme de $t$ euros ($t$ nombre réel positif).
Soit $X$ la valeur du gain associé à chaque moteur fabriqué (éventuellement négatif) .
  1. Déterminer en fonction de $t$ les trois valeurs que peut prendre $X$ et déterminer la loi de probabilité de $X$.
    (On rappelle que le bénéfice est la différence entre le prix de vente et le prix de revient.)
    Identifier les trois cas possibles sur l'arbre et les valeurs du bénéfice correspondantes...
    $X$ peut prendre les valeurs:
    $t-1000$ si le premier test est positif (événement $P\cap E$).
    $t-1100$ si le moteur est révisé puis envoyé(événement $\overline{P}\cap E$).
    $-1100$ si le moteur est révisé mais n'est pas envoyé(événement $\overline{P}\cap \overline{E}$).
  2. Compléter le tableau ci-dessous et calculer en fonction de $t$ l'espérance mathématique de $X$ On a le tableau suivant:

    Variable aléatoire et loi de probabilité


    Une variable aléatoire discrète est une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui a tout élément $x_i$ de $\Omega$ associe un nombre réel.
    Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire prenant les valeurs $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $, c'est déterminer la probabilité d'obtenir la valeur $X=x_i$ pour tout élément de $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $
    A chaque valeur de $X$ correspond un parcours sur l'arbre.


    $E(X)=(t-1000)\times 0,85+t-1100)\times 0,0975+(-1100)\times 0,0525=0,9475t-1015$


    La somme des probabilités du tableau doit être égale à 1.
  3. En déduire la valeur de $t$ à partir de laquelle l'entreprise fera un bénéfice positif en vendant un grand nombre de moteurs (arrondir à l'euro près).

    Espérance-variance-écart type


    L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
    $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
    La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
    $V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$

    ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$

    L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
    On veut $E(X)\geq0$
    On veut que le bénéfice soit positif soit $E(X)\geq0$
    $E(X)\geq 0 \Leftrightarrow 0,9475t-1015\geq 0 \Leftrightarrow t \geq \frac{1015}{0,9475}$
    et $\frac{1015}{0,9475}\approx 1071,24$ arrondi au centime d'euro près.


    Pour que le bénéfice soit positif, il faut arrondir par excès.
    En effet, pour 1071 euros, on a $E(X)<0$ et pour 1072 euros, on a $E(X)>0$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

calculs de probabilités

- calcul de probabilités avec un arbre
- probabilités conditionnelles
- probabilités totales


infos: | 10-15mn |

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