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Une résidence de vacances propose deux s d'appartements (studio et deux-pièces) à louer à la semaine. L'appartement doit être restitué parfaitement propre en fin de séjour.
Le locataire peut décider de le nettoyer lui-même ou peut choisir l'une des deux formules d'entretien suivantes : la formule Simple (nettoyage de l'appartement en fin de séjour par le personnel d'entretien) ou la formule Confort (nettoyage quotidien du logement durant la semaine et nettoyage complet en fin de séjour par le personnel d'entretien).
Le gestionnaire a constaté que :
$60$% des locataires optent pour un studio et parmi ceux-ci $20$% ne souscrivent aucune formule d'entretien ;
La formule Simple a beaucoup de succès : elle est choisie par $45$% des locataires de Studio et par $55$% des locataires de deux-pièces ;
$18$% des locataires ne souscrivent aucune formule.
On rencontre un résident au hasard.
Soit $S$ l'évènement "Le résident a loué un studio "
$A$ l'évènement "Le résident a souscrit la formule Simple"
$B$ l'évènement "Le résident a souscrit la formule Confort "
$R$ l'évènement "Le résident n'a souscrit aucune formule d'entretien ".
Partie A
  1. Traduire l'énoncé à laide d'un arbre pondéré.

    Arbre pondéré


    Probabilités sur un arbre pondéré:
    Traduire les données avec les notaions de l'énoncé.
    Les probabilités non conditionnelles sont à placer au premier niveau de l'arbre
    $60$% des locataires optent pour un studio donc $p(S)=0,6$
    Parmi les locataires optant pour un studio ceux-ci $20$% ne souscrivent aucune formule d'entretien donc $p_S(R)=0,2$
    La formule Simple a beaucoup de succès et est choisie par $45$% des locataires de Studio donc $p_S(A)=0,45$
    La formule Simple est choisie par $55$% des locataires de deux-pièces donc $p_{\overline{S}}(A)=0,55$.
    $18$% des locataires ne souscrivent aucune formule donc $p(R)=0,18$.
    On a donc l'arbre suivant:
  2. Quelle est la probabilité que le résident ait loué un deux-pièces ?
    rappel $p(\overline{A})=-p(A)$
    $p(\overline S)=1-p(S)=1-\frac{60}{100}=0,4$
  3. Calculer $P_{S}(B)$.
    La somme des probabilités des branches partant d'un sommet de l'arbre est égale à 1
    $p_{S}(B)=1-p_S(A)-p_S(R) =1-\frac{45}{100}-\frac{20}{100}=\frac{35}{100}=0,35$
  4. Calculer $P(R \cap S)$ et en déduire $p\left(R \cap \overline{S}\right)$.

    Probabilité de l'événement $A\cap B$


    Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
    $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$
    Utiliser la formule des probabilités totales avec $p(
    $p(S\cap R)=p(S)p_{S}(R)=0,2\times 0,6=0,12$
    D'après la formule des probabilités totales, on a:
    $p(R)=p(R\cap S)+p(\overline{S}\cap R)$
    on a $p(R)=0,18$
    donc $0,18=0,12+p(\overline{S}\cap R)$
    donc $p(\overline{S}\cap R)=0,18-0,12=0,06$
  5. Le résident a loué un deux-pièces. Montrer que la probabilité qu'il assure lui-même le nettoyage de son appartement est 0,15.

    Probabilité conditionnelle


    Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
    La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
    et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.
    On veut calculer $p_{\overline{S}}(R)$
    $p{\overline S}(R)=\dfrac{p(\overline{S}\cap R)}{p(\overline{S})}=\frac{0,06}{0,4}=0,15$

Partie B
  1. Le gestionnaire affirme que près de la moitié des résidents choisit la formule Simple. Présenter les calculs qui justifient son affirmation.
    On veut calculer $p(A)$
    Utiliser la formule des probabilités totales.
    D'après la formule des probabilités totales, on a:
    $p(A)=p(S\cap A)+p(\overline{S}\cap A)=p(S)p_S(A)+p(\overline{S})p_{\overline{S}}(A)=0,6\times 0,45+0,4\times 0,55=0,49$

    donc le gestionnaire a raison.
  2. La location d'un studio à la semaine coûte 350 euros, celle d'un deux-pièces 480 euros.
    La formule Simple coûte 20 euros et la formule Confort 40 euros.
    Soit L le coût de la semaine (loyer et entretien) ; il prend différentes valeurs $L_{i}$. On désigne par $p_{i}$, la probabilité que le coût de la semaine soit égal à $L_{i}$.
    Recopier et compléter le tableau ci-dessous.

    Variable aléatoire et loi de probabilité


    Une variable aléatoire discrète est une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui a tout élément $x_i$ de $\Omega$ associe un nombre réel.
    Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire prenant les valeurs $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $, c'est déterminer la probabilité d'obtenir la valeur $X=x_i$ pour tout élément de $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $
    Identifier le parcours sur l'arbre correspondant à 370 euros, 480 euros puis 500 euros
    370 euros correspond à $S\cap A$
    480 euros correspond à $\overline{S}\cap R$
    et 500 euros correspond à $\overline{S}\cap A$ donc on a:

    La somme des probabilité doit être égale à 1.
  3. Calculer l'espérance de L. En donner une interprétation.

    Espérance-variance-écart type


    L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
    $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
    La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
    $V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$

    ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$

    L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
    $E(L)= 350 \times 0,12 + 370 \times 0,27 + 390 \times 0,21 + 480\times 0,06 + 500 \times 0,22 + 520 \times 0,12=425$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

calculs de probabilités

- calcul de probabilités avec un arbre
- probabilités conditionnelles
- probabilités totales


infos: | 10-15mn |

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