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  1. Montrer par récurrence sur $n$ que pour tout réel $a>0$ on a $(1+a)^n\geq 1+na$.

    Raisonnement par récurrence


    On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
    Initialisation:
    $P_0$ est vraie
    Hérédité:
    Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
    on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
    Vérifier que la propriété est vraie pour $n=0$
    On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $(1+a)^n\geq 1+na$
    et on veut montrer que $P_{n+1}$ est vraie soit que $(1+a)^{n+1}\geq (1+(n+1)a)$
    On note $P_n$ la propriété $(1+a)^n\geq 1+na$.
    Initialisation:
    Pour $n=0$ on a $(1+a)^0=1$ et $1+0a=1$

    Hérédité:
    On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $(1+a)^n\geq 1+na$
    et on veut montrer que $P_{n+1}$ est vraie soit que $(1+a)^{n+1}\geq (1+(n+1)a)$
    $(1+a)^{n+1}=(1+a)(1+a^n)$ et on a $(1+a)^n\geq 1+na$
    donc $(1+a)^{n+1}\geq (1+a)(1+na)$
    soit $(1+a)^{n+1}\geq 1+a+na+na^2$
    donc $(1+a)^{n+1}\geq 1+(n+1)a+na^2$
    or $na^2>0$ donc $(1+a)^{n+1}\geq 1+(n+1)a$
    donc $P_{n+1}$ est vraie
  2. En utilisant le résultat de la question $1$, montrer alors que si $q>1$ on a $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$.
    include183fclude
    On pose $q=1+a$ avec $a>0$
    $q>1$ donc il existe un réel $a>0$ tel que $q=1+a$
    et on a $(1+a)^n\geq 1+na$
    donc $q^n\geq 1+na$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}na=+\infty$
  3. Montrer que si $0< q <1 $ on a $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$
    En déduire que si $-1

    Théorème des gendarmes


    Si pour tout entier $n\geq N$ avec $N\in \mathbb{N}$ on a $u_n alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}w_n=\ell$
    On a $\dfrac{1}{q}>1$ et on peut chercher la limite de $\dfrac{1}{q^n}$
    $01$
    D'après la question précédente, on a donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{q}\right)^n=+\infty$
    Or $\left(\dfrac{1}{q}\right)^n=\dfrac{1}{q^n}$
    On a donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{q^n}=+\infty$

    Si $0 et donc $-q^n\leq (-q)^n\leq q^n$
    avec $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}-q^n=\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$

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