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Pour chaque cas ci-dessous, étudier les variations de la suite $(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
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- $u_{n}=3n+5$
Variations d'une suite
Soit $(u_n)$ une suite numérique.
$(u_n)$ est croissante (resp. décroissante) à partir du rang $p$ si pour tout entier $n\geq p$, on a $u_{n+1}>u_n$ (resp. $u_{n+1}$(u_n)$ est monotone si elle est toujours croissante ou toujours décroissante.
$(u_n)$ est stationnaire à partir du rang $p$ si pour tout entier $n\geq p$, on a $u_{n+1}=u_n$ (on a donc $u_n=u_p$ pour tout $n>p$) .Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.Il faut exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$ puis calculer $u_{n+1}-u_n$.
On peut aussi étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ associée à la suite $(u_n)$$u_n=3n+5$
donc $u_{n+1}=3(n+1)+5=3n+8$
$u_{n+1}-u_n=(3n+8)-(3n+5)=3n+8-3n-5=3$
donc pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n>0$ (soit $u_{n+1}>u_n$)
Quand $n\longrightarrow +\infty$ on a $3n$ "infiniment grand" et donc $3n+5\longrightarrow +\infty$
On peut noter avec les notations des limites $\displaystyle \lim_{ n\rightarrow +\infty }u_n=+\infty$
On peut aussi étudier les variations de la fonction associée $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=3x+5$ et on a alors $u_n=f(n)$ pour tout entier naturel $n$
$f$ est affine et le coefficient de $x$ est strictement positif donc $f$ est strictement croissante
et donc $(u_n)$ est strictement croissante. - $u_{n}=\dfrac{3}{2^n}$
On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_{n}$ (rappel: $2^{n+1}=2\times 2^n$)$u_ {n+1}=\dfrac{3}{2^{n+1 }}$
$u_{n+1}-u_n=\dfrac{3}{2^{n+1 }}-\dfrac{3}{2^n}$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{3}{2^{n+1 }}-\dfrac{6}{2^{n+1}}$ car $2\times 2^n=2^{n+1}$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{3-6}{2^{n+1}}$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-3}{2^{n+1}}$
$2^{n+1}>0$ donc $u_{n+1}-u_n$<$0$
donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
Quand $n\longrightarrow +\infty$ on a $2^n$ "infiniment grand" et donc $\dfrac{1}{2^n} \longrightarrow 0$ et $\dfrac{3}{2^n} \longrightarrow 0$
On peut noter avec les notations des limites $\displaystyle \lim_{ n\rightarrow +\infty }u_n=0$ (on dit que la suite converge vers 0)
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Variations d'une suite
- méthodes possibles
- exemples types
- cas des suites arithmétiques et géométriques
infos: | 10-15mn |
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