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Démontrer chacune des propriétés ci-dessous par récurrence.
  1. Pour tout entier naturel $n>0$, on a $1\times 2+2\times 3+.....+n\times (n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$.
    On peut noter cette somme $\Sigma_{k=1}^n k(k+1)$.

    Raisonnement par récurrence


    On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
    • $P_0$ vraie
    • Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
    • On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
    On peut noter $P_n$ la propriété $1\times 2+2\times 3+.....+n\times (n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
    Vérifier que la prorpiété est vraie pour $n=1$.
    On peut noter $P_n$ la propriété $1\times 2+2\times 3+.....+n\times (n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
    -Initialisation
    Pour $n=1$, on calcule donc $1\times 2=2$
    et $\dfrac{1\times (1+1)\times (1+2)}{3}=\dfrac{6}{3}=2$
    donc la propriété $P_1$ est vraie.
    - On suppose qu'il existe un entier naturel $n>0$ tel que $P_n$ soit vraie.
    On a alors $1\times 2+2\times 3+.....+n\times (n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
    Au rang $n+1$, la propriété $P_{n+1}$ s'écrit
    $1\times 2+2\times 3+.....+(n+1)(n+2)=\dfrac{(n+1)(n+1+1)(n+1+2)}{3}$
    c'est à dire $1\times 2+2\times 3+.....+(n+1)(n+2)=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$
    On doit calculer la somme $1\times 2+2\times 3+.....+n\times (n+1)+(n+1)(n+2)$
    $\phantom{=}1\times 2+2\times 3+.....+n\times (n+1)+(n+1)(n+2)$
    $=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}+(n+1)(n+2)$
    $=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}+\dfrac{3(n+1)(n+2)}{3}$
    $=\dfrac{n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)}{3}$
    $=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$ (on factorise par $(n+1)(n+2)$)
    donc $P_{n+1}$ vraie
    On a donc montré par récurrence que la propriété $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
  2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\geq 2$, on a $2^{3n}-1$ est divisible par 7.
    Un nombre entier naturel $N$ est divisible par 7 s'il existe un entier naturel $k$ tel que $N=7k$
    On pose $P_n$ la propriété $2^{3n}-1$ est divisible par 7
    Vérifier que $P_2$ est vraie
    On a $2^{3(n+1)}-1=2^{3n}\times 2^3-1$
    Pour tout entier naturel $n\geq 2$, on note $P_n$ la propriété $2^{3n}-1$ est divisible par 7
    - Initialisation
    Pour $n=2$, on a $2^{3\times 2}-1=64-1=63$ et $63\div 7=9$
    donc $P_2$ est vraie.
    - On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $P_n$ est vraie.
    $2^{3n}-1$ est divisible par 7 donc il existe un entier naturel $k$ tel que $2^{3n}-1=7k$
    $2^{3n}-1=7k\Longleftrightarrow 2^{3n}=7k+1$
    Au rang $n+1$, on doit calculer $2^{3(n+1)}-1$.
    $2^{3(n+1)}-1=2^{3n+3}-1$
    $\phantom{2^{3(n+1)}-1}=2^{3n}\times 2^3-1$
    $\phantom{2^{3(n+1)}-1}=(7k+1)\times 8-1$ (on remplace $2^{3n}$ par $7k+1$)
    $\phantom{2^{3(n+1)}-1}=56k+8-1$
    $\phantom{2^{3(n+1)}-1}=56k+7$
    $\phantom{2^{3(n+1)}-1}=7(8k+1)$
    donc il existe un entier naturel $k'=8k+1$ tel que $ 2^{3(n+1)}-1=7k'$
    donc $2^{3(n+1)}$ est divisible par 7 et $P_{n+1}$ est donc vraie.
    On a donc montré par récurrence que $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n\geq 2$

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