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Les suites ci-dessous sont définies par leur terme général.
Dans chaque cas:
1. conjecturer la limite $\ell$ de la suite
2. Montrer qu'il existe un rang $N$ tel que pour tout entier naturel $n\geq N$ on a $u_n \in ]\ell-10^{-4};\ell+10^{-4}[$.
3. En déduire la limite de $(u_n)$.
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Dans chaque cas:
1. conjecturer la limite $\ell$ de la suite
2. Montrer qu'il existe un rang $N$ tel que pour tout entier naturel $n\geq N$ on a $u_n \in ]\ell-10^{-4};\ell+10^{-4}[$.
3. En déduire la limite de $(u_n)$.
- $u_{n}=\dfrac{2}{n}$
Limite finie
$\ell$ désigne un réel quelconque.
Dire qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $\ell$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On dit alors que la suite est convergente vers $\ell$ et on note $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=\ell$.
Pour tout réel $\epsilon$, il existe donc un entier $N$ tel que que pour tout $n\geq N$ on a $u_n\in ]\ell-\epsilon;\ell + \epsilon[$Pour $n$ "très grand" que se passe-t-il pour $u_n$?
On peut aussi calculer $u_n$ pour des valeurs très grande de $n$1. Conjecture
Lorsque $n$ est infiniment grand, on a $\dfrac{1}{n}$ infiniment proche de $0$
2. On veut $0-10^{-4}$0-10^{-4} on a $\dfrac{2}{n}>0$ donc on veut $\dfrac{2}{n} <10^{-4}$
soit $\dfrac{n}{2} > \dfrac{1}{10^{-4}}$
$n > \dfrac{2}{10^{-4}}$ donc $n > 2\times 10^4$
3. On peut reprendre le raisonnement pour tout entier naturel $p$.
On veut $0donc $n > \dfrac{2}{10^{-p}}$ donc $n > 2\times 10^p$
si on pose $N=2\times 10^p$ alors pour tout entier naturel $p$, si $n> N$ alors $u_n \in ]-10^{-p};10^{-p}[$
- $u_{n}=\dfrac{n}{n+2}$
Limite finie
$\ell$ désigne un réel quelconque.
Dire qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $\ell$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On dit alors que la suite est convergente vers $\ell$ et on note $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=\ell$.
Pour tout réel $\epsilon$, il existe donc un entier $N$ tel que que pour tout $n\geq N$ on a $u_n\in ]\ell-\epsilon;\ell + \epsilon[$Pour $n$ "très grand" que se passe-t-il pour $u_n$?
On peut aussi calculer $u_n$ pour des valeurs très grande de $n$1. Conjecture
$u_{100}=\dfrac{100}{100+2}=\dfrac{100}{102}\approx 1$
$u_{1000}=\dfrac{ 1000}{1000+2}=\dfrac{1000}{1002}\approx 1$
2. On veut $1-10^{-4}$1-10^{-4} $\phantom{1-10^{-4} On veut $(1-10^{-4})n+2(1-10^{-4})
$\dfrac{2-10^{-4}}{10^{-4}}=2\times 10^4-1$
Si on prend $N=2\times 10^4-1=20000-1=19999$
3. On peut reprendre le raisonnement pour tout entier naturel $p$ (au lieu de $4$).
si on pose $N=2\times 10^p-1$ alors pour tout entier naturel $p$, si $n> N$ alors $u_n \in ]1-10^{-p};1+10^{-p}[$
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