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Dans chaque cas, déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n > 0$.
  1. $u_{n}=\dfrac{2}{\sqrt{n}}-3n$
    Il faut déterminer la limite de chacun des termes de la somme soit de $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$, $-3n$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n}=+\infty$
    donc par quotient $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{\sqrt{n}}=0$
    et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -3n=-\infty$
  2. $u_n=4n+\dfrac{1}{1-n^2}$
    Il faut déterminer la limite de $4n$ puis de $\dfrac{1}{1-n^2}$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 4n=+\infty$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -n^2=-\infty$
    donc par somme $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 1-n^2=-\infty$
    et par quotient $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{1-n^2}=0$

    On a $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 4n=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{1-n^2}=0$
  3. $u_n=\dfrac{4+\dfrac{1}{n}}{2-\dfrac{1}{n^2}}$
    Déterminer la limite de $\dfrac{4+\dfrac{1}{n}$ et de $2-\dfrac{1}{n^2}$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n}=0$ donc par somme $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 4+\dfrac{1}{n}=4$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -\dfrac{1}{n^2}=0$ donc par somme $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 2-\dfrac{1}{n^2}=2$

    On a donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 4+\dfrac{1}{n}=4$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 2-\dfrac{1}{n^2}=2$

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