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Dans chaque cas, déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$.
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- $u_{n}=n-\sqrt{n}$
Formes indéterminées
Formes indéterminées à retenir $+\infty-\infty~~~~~~0\times \infty$
$\dfrac{0}{0}~~~~\dfrac{\infty}{\infty}$Limite d'un produit
Il faut lever l'indétermination en factorisant par $n$ ou bien par $\sqrt{n}$ (on a $n=\sqrt{n}^2$
Il faut déterminer la limite de chacun des deux facteurs obtenus
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -\sqrt{n}=-\infty$
donc le produit a une limite indéterminée.
Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n}=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n}-1=+\infty$
Pour tout entier naturel $n>0$, on a $n-\sqrt{n}=n\left(1-\dfrac{\sqrt{n}}{n}\right)=n\left(1-\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}^2}\right)=n\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$
On peut ensuite déterminer la limite de $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ puis de $1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ et utiliser le produit des deux facteurs $n$ et $1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ - $u_{n}=\dfrac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}}$
Il faut lever l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{n}$
Il faut déterminer la limite du numérateur puis du dénominateur
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n}=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}1+\sqrt{n}=+\infty$
donc le quotient a une limite indéterminée.
Pour tout entier naturel $n>0$, on a $u_n=\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}+1\right)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}+1}$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n}=+\infty$ donc par quotient $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}}=0$
et par somme $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}}+1=1$
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