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  1. spécialité maths terminale
  2. chapitre 1 Suites
  3. exercice corrigé nº1068

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On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par la relation $u_n=\dfrac{n+cos(n)}{n+3}$.
  1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $n-1\leq n+cos(n)\leq n+1$

    Aide

    Pour tout réel $x$ on a $-1 \leq cos(x)\leq 1$

    Solution

    $-1\leq cos(x)\leq 1$ pour tout réel $x$.
    donc $-1\leq cos(n)\leq 1$
    En ajoutant $n$ à chaque membre de l'inégalité, on a $n-1\leq n+cos(n)\leq n+1$
  2. Déterminer les limites $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n-1}{n+3}$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n+1}{n+3}$.

    Rappel de cours

    Formes indéterminées

    Formes indéterminées à retenir $+\infty-\infty~~~~~~0\times \infty$
    $\dfrac{0}{0}~~~~\dfrac{\infty}{\infty}$

    Aide

    Factoriser $n$ au numérateur et au dénominateur

    Solution

    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n-1=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n+3=+\infty$
    donc la limite du quotient est indéterminée.
    Pour tout entier $n\geq 1$ on a :
    $\dfrac{n-1}{n+3}=\dfrac{n\left(1-\dfrac{1}{n}\right)}{n\left(1+\dfrac{3}{n}\right)}=\dfrac{1-\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{3}{n}}$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n}=0$ donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 1-\dfrac{1}{n}=1$
    et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 1+\dfrac{3}{n}=1$

    De même:
    $\dfrac{n+1}{n+3}=\dfrac{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{n\left(1+\dfrac{3}{n}\right)}=\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{3}{n}}$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n}=0$ donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1$
    et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 1+\dfrac{3}{n}=1$

  3. En déduire $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n$.

    Rappel de cours

    Théorème des gendarmes

    Soient trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$.
    Si $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\ell$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n=\ell$ et s'il existe un entier $p$ tel que, pour tout $n\geq p$, $u_n\leq v_n\leq w_n$, alors $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=\ell$.

    Aide

    Encadrer $u_n$ et utiliser le théorème des gendarmes et les résultats de la question 2

    Solution

    $n-1\leq n+cos(n)\leq n+1$
    donc $\dfrac{n-1}{n+3}\leq \dfrac{n+cos(n)}{n+3}\leq \dfrac{n+1}{n+3}$
    donc $\dfrac{n-1}{n+3}\leq u_n \leq \dfrac{n+1}{n+3}$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n-1}{n+3}=\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n+1}{n+3}=1$

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