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On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=1+\dfrac{1}{3}u_n$ et $u_0=-3$
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- Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
- Montrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est majorée par $\dfrac{3}{2}$.
Raisonnement par récurrence
On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
Initialisation:
$P_0$ est vraie
Hérédité:
Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.On note $P_n$ la propriété $u_n\leq \dfrac{3}{2}$On note $P_n$ la propriété $u_n\leq \dfrac{3}{2}$
-Initialisation
On a $u_0=-3$ donc $u_0\leq \dfrac{3}{2}$ donc $P_0$ est vraie.
$u_1=0$ donc $u_1\leq \dfrac{3}{2}$ donc $P_1$ est vraie.
- On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $u_n\leq \dfrac{3}{2}$
On a donc $u_n\leq \dfrac{3}{2}$.
$u_{n+1}=1+\dfrac{1}{3}u_n$
donc $u_{n+1}\leq 1+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{2}$ et $ 1+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{2}=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$
donc $u_{n+1}\leq \dfrac{3}{2}$
donc $P_{n+1} $ est vraie.
On a donc montré par récurrence que $P_n$ est vraie.
- Montrer alors que la suite $(u_n)$ est croissante.
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.On peut exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$ et de $u_n$ et utiliser la question précédente ($u_n\leq \dfrac{3}{2}$)Pour tout entier naturel $n$, on a:
$u_{n+1}-u_n=1+\dfrac{1}{3}u_n-u_n=1-\dfrac{2}{3}u_n$
$u_n\leq \dfrac{3}{2}$
donc $-\dfrac{2}{3}u_n\geq -\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{2}$ soit $-\dfrac{2}{3}u_n\geq -1$
on multiplie les deux membres par $-\dfrac{2}{3}$ donc l'inégalité change de sens
donc $1-\dfrac{2}{3}u_n\geq 1-1$ (on ajoute 1 à chaque membre de l'inégalité)
donc $u_{n+1}-u_n \geq 0$
- En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
Limite d'une suite majorée ou minorée
Si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors elle est convergente.
Si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors elle est convergenteLa suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\dfrac{3}{2}$
- On note $\ell$ la limite de la suite.
$\ell$ vérifie $\ell=1+\dfrac{\ell}{3}$$\ell=1+\dfrac{\ell}{3}$
$\Longleftrightarrow \ell-\dfrac{\ell}{3}=1$
$\Longleftrightarrow \dfrac{2\ell}{3}=1$
$\Longleftrightarrow \ell=\dfrac{3}{2}$
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