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On considère la suite $u_n$ définie pour tout entier naturel $n$ tel que $u_{n+1}=2u_n+1$ et $u_0=2$.
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- On considère l'algorithme ci-dessous:
Que représente la variable $U$?
Que va-il afficher si l'utilisateur saisi $n=5$? - On veut modifier cet algorithme pour qu'il affiche l'indice à partir duquel $u_n>S$ où $S$ est une valeur saisie par l'utilisateur.
- Écrire le programme en langage Python de cet algorithme puis déterminer l'indice à partir duquel $u_n>5000$.
input: saisir une variable
x=input("saisir la valeur de x") --> permet de saisir la valeur de x par l'utilisateur
Si on veut saisir un entier par exemple: x=int(input("saisir un nombre entier"))
Si on veut saisir un réel x=float(input("saisir un nombre"))Boucle POUR
for i in range(n) : --> i varie de 0 à n-1 soit n passages dans la boucle
instructions de la boucle pour
for i in range(a,n) : --> i varie de a à n-1
instructions de la boucle pour
Programme écrit en Python:
- Recherche de la forme explicite de $u_n$
On admet que la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n+1$ est géométrique de raison $q=2$.
Calculer $v_0$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et vérifier que $u_{11} > 5000$.
En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$On utilise $v_n=u_n+1$ en prenant $n=0$
On a $v_n=u_n+1$ donc $u_n=v_n-1$$v_n=u_n+1$
donc $v_0=u_0+1=2+1=3$.
On a alors $v_n=v_0\times q^n=3\times 2^n$
$v_n=u_n+1 \Longleftrightarrow u_n=v_n-1$
$u_{11}=3\times 2^{11}-1=6143$
donc on a bien $u_{11}> 5000$
$u_{10}=3\times 2^{10}-1=3071$ donc $u_{10} <5000$
et donc $11$ est bien le premier entier tel que $u_n >5000$
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