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Plus d'infos
  1. spécialité maths terminale
  2. chapitre 1 Suites
  3. exercice corrigé nº1080

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La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par la relation $u_{n+1}=\dfrac{4u_n}{4-u_n}$ et $u_0=-1$.
On admet que $u_n\neq 4$ pour tout entier naturel $n$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique? géométrique?

    Rappel de cours

    Suite arithmétique

    Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
    $r$ est la raison de la suite.
    On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$

    Aide

    Il faut montrer que la différence de deux termes consécutifs n'est pas constante et que le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant

    Solution

    En prenant $n=0$, on a:
    $u_1=\dfrac{4u_0}{4-u_0}=\dfrac{-4}{4-(-1)}=\dfrac{-4}{5}$
    En prenant $n=1$:
    $u_2=\dfrac{4u_1}{4-u_1}$
    $\phantom{u_2}=\dfrac{4\dfrac{-4}{5}}{4-\dfrac{-4}{5}}$
    $\phantom{u_2}=\dfrac{\dfrac{-16}{5}}{\dfrac{24}{5}}$
    $\phantom{u_2}=\dfrac{-16}{5}\times \dfrac{5}{24}$
    $\phantom{u_2}=\dfrac{-2}{3}$

    $u_1-u_0=\dfrac{-4}{5}-(-1)=\dfrac{1}{5}$
    et $u_2-u_1=\dfrac{-2}{3}-\dfrac{-4}{5}=\dfrac{2}{15}$

    $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{\dfrac{-4}{5}}{-1}=\dfrac{4}{5}$
    et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{\dfrac{-2}{3}}{\dfrac{-4}{5}}=\dfrac{-2}{3}\times \dfrac{5}{-4}=\dfrac{5}{6}$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=\dfrac{3u_n+2}{u_n}$
    Montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique.

    Aide

    On veut montrer que $v_{n+1}=qv_n$
    On peut calculer $v_{n+1}-v_n$ et montrer que cette différence ne dépend pas de $n$ (est donc constante)

    Solution

    $v_{n+1}=\dfrac{3u_{n+1}+2}{u_{n+1}}=\dfrac{3 \dfrac{4u_n}{4-u_n}+2}{\dfrac{4u_n}{4-u_n}}$
    $\phantom{v_{n+1}=\dfrac{3u_{n+1}+2}{u_{n+1}}}=\dfrac{3 \dfrac{4u_n}{4-u_n}+2}{\dfrac{4u_n}{4-u_n}}$
    $\phantom{v_{n+1}=\dfrac{3u_{n+1}+2}{u_{n+1}}}=\dfrac{ \dfrac{12u_n+2(4-u_n)}{4-u_n}}{\dfrac{4u_n}{4-u_n}}$
    $\phantom{v_{n+1}=\dfrac{3u_{n+1}+2}{u_{n+1}}}= \dfrac{10u_n+8}{4-u_n}{4-u_n}\times\dfrac{4-u_n}{4u_n}$
    $\phantom{v_{n+1}=\dfrac{3u_{n+1}+2}{u_{n+1}}}= \dfrac{10u_n+8}{4u_n}$
    $v_{n+1}-v_n= \dfrac{10u_n+8}{4u_n}-\dfrac{3u_n+2}{u_n}$ $\phantom{v_{n+1}-v_n}= \dfrac{10u_n+8}{4u_n}-\dfrac{12u_n+8}{4u_n}$
    $\phantom{v_{n+1}-v_n}= \dfrac{-2u_n}{4u_n}$
    $\phantom{v_{n+1}-v_n}= \dfrac{-2}{4}$
  3. En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.

    Rappel de cours

    Forme explicite d'une suite arithmétique

    Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$

    Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$

    Aide

    Une suite arithmétique est entièrement déterminée par la donnée de sa raison et de son premier terme
    Il faut donc calculer $v_0$

    Solution

    $v_n=\dfrac{3u_n+2}{u_n}$ et $u_0=-1$
    $v_0=\dfrac{3u_0+2}{u_0}=\dfrac{-3+2}{-1}=1$

    $v_n=\dfrac{3u_n+2}{u_n}\Longleftrightarrow u_nv_n=3u_n+2$
    $\phantom{v_n=\dfrac{3u_n+2}{u_n}}\Longleftrightarrow u_nv_n-3u_n=2$
    $\phantom{v_n=\dfrac{3u_n+2}{u_n}}\Longleftrightarrow u_n(v_n-3)=2$
    $\phantom{v_n=\dfrac{3u_n+2}{u_n}}\Longleftrightarrow u_n=\dfrac{2}{v_n-3}$
    $u_n=\dfrac{2}{v_n-3}=\dfrac{2}{1-\dfrac{n}{2}-3}$
    $\phantom{u_n=\dfrac{2}{v_n-3}}=\dfrac{2}{-2-\dfrac{n}{2}}$
    $\phantom{u_n=\dfrac{2}{v_n-3}}=\dfrac{2}{\dfrac{-4-n}{2}}$
    $\phantom{u_n=\dfrac{2}{v_n-3}}=\dfrac{4}{-4-n}$
  4. En déduire les variations de $(u_n)$ et sa limite

    Aide

    Il faut déterminer le signe de $u_{n+1}-u_n=\dfrac{4}{-4-(n+1)}-\dfrac{4}{-4-n}$

    Solution

    $u_{n+1}-u_n=\dfrac{-4}{4+(n+1)}-\dfrac{-4}{4+n}$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-4}{n+5}+\dfrac{4}{4+n}$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-4(4+n)+4(n+5)}{(n+5)(4+n)}$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{4}{(n+5)(4+n)}$
    $n+5>0$, $4+n>0$ et $4>0$
    donc $u_{n+1}-u_n>0$

    $u_n=\dfrac{-4}{4+n}$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}4+n=+\infty$

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